Encontre a expressão da transformação linear T: R^4 R^3, sendo
[T]B, C=[cccc 1 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & 4 & 7 -1 & 2 & -4 & 0 ]
onde B=(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0) e C=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0), bases de R^4 e R^3, respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^4toR^3 cuja matriz em relação às bases
B=b1=(1,1,1,1),,b2=(1,1,1,0),,b3=(1,1,0,0),,b4=(1,0,0,0)
e
C=c1=(1,1,1),,c2=(1,1,0),,c3=(1,0,0)
é
[T]B,C= 1 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & 4 & 7 -1& 2 & -4& 0
Queremos a expressão de T nas coordenadas canônicas de R^4 e R^3.

Passo 2

Primeiro encontramos T(bj) em coordenadas canônicas de R^3. A coluna j de [T]B,C dá as coordenadas de T(bj) na base C. Por exemplo, para j=1 a coluna é (1,0,-1), logo
T(b1)=1,c1+0,c2-1,c3 =c1-c3 =(1,1,1)-(1,0,0) =(0,1,1)
Analogamente:
T(b2)=1c1+1c2+2c3=(1,1,1)+(1,1,0)+2(1,0,0)=(4,2,1),
T(b3)=2c1+4c2-4c3 =2(1,1,1)+4(1,1,0)-4(1,0,0) =(2,6,2),
T(b4)=0c1+7c2+0c3 =7(1,1,0) =(7,7,0)

Passo 3

Para qualquer x=(x1,x2,x3,x4)inR^4 escrevemos
x=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4
Isso gera o sistema
x4=a1, x3=a1+a2, x2=a1+a2+a3, x1=a1+a2+a3+a4,
cuja solução, por substituição, é
a1=x4, a2=x3-x4, a3=x2-x3, a4=x1-x2

Passo 4

Pela linearidade,
T(x)=a1T(b1)+a2T(b2)+a3T(b3)+a4T(b4)
Substituindo ai e os T(bj) encontrados:
T(x)=x4(0,1,1)+(x3-x4)(4,2,1)+(x2-x3)(2,6,2)+(x1-x2)(7,7,0)
Agora somamos coordenada a coordenada e simplificamos:
  • 1ª coordenada:
4(x3-x4)+2(x2-x3)+7(x1-x2) =7x1-5x2+2x3-4x4
  • 2ª coordenada:
x4+2(x3-x4)+6(x2-x3)+7(x1-x2) =7x1-x2-4x3-x4
  • 3ª coordenada:
x4+(x3-x4)+2(x2-x3) =2x2-x3

Resposta

T(x1,x2,x3,x4) =l(7x1-5x2+2x3-4x4,;7x1-x2-4x3-x4,;2x2-x3r)

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