Mostre que o conjunto de soluções do seguinte sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial de . Encontre uma base e a dimensão desse subespaço de soluções:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
S = (x,y,z,s,t)inR^5 mid x+2y-2z-2s-t=0, x+2y-z+3s-2t=0, 2x+4y-7z+s+t=0
é um subespaço de R^5, e depois encontrar uma base de S e sua dimensão.
Conteúdo: espaço nulo (kernel) de uma matriz. Conhecimento necessário: definição de subespaço (fechado sob soma e multiplicação escalar) e eliminação de Gauss para sistemas lineares homogêneos.
de modo que S = ker(A). Sabemos que o núcleo de qualquer transformação linear (ou seja, conjunto de soluções de um sistema homogêneo) é sempre um subespaço vetorial. Assim, S contém o vetor zero, e se u,vin S e lambdainR então A(u+v)=0 e A(lambdau)=0, garantindo fechamento sob soma e escalar.
Passo 3
Para encontrar uma base de S, resolvemos A(x,y,z,s,t)^T=0 por eliminação de Gauss:
Inicialmente