Mostre que o conjunto de soluções do seguinte sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial de R^5. Encontre uma base e a dimensão desse subespaço de soluções:
l x+2 y-2 z-2 s-t=0 x+2 y-z+3 s-2 t=0 2 x+4 y-7 z+s+t=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
S = (x,y,z,s,t)inR^5 mid x+2y-2z-2s-t=0, x+2y-z+3s-2t=0, 2x+4y-7z+s+t=0
é um subespaço de R^5, e depois encontrar uma base de S e sua dimensão.
Conteúdo: espaço nulo (kernel) de uma matriz. Conhecimento necessário: definição de subespaço (fechado sob soma e multiplicação escalar) e eliminação de Gauss para sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Definimos a matriz
A = 1 & 2 & -2 & -2 & -1 1 & 2 & -1 & 3 & -2 2 & 4 & -7 & 1 & 1 ,
de modo que S = ker(A). Sabemos que o núcleo de qualquer transformação linear (ou seja, conjunto de soluções de um sistema homogêneo) é sempre um subespaço vetorial. Assim, S contém o vetor zero, e se u,vin S e lambdainR então A(u+v)=0 e A(lambdau)=0, garantindo fechamento sob soma e escalar.

Passo 3

Para encontrar uma base de S, resolvemos A(x,y,z,s,t)^T=0 por eliminação de Gauss:
Inicialmente
1 & 2 & -2 & -2 & -1 1 & 2 & -1 & 3 & -2 2 & 4 & -7 & 1 & 1
Fazendo R2 R2-R1 e R3 R3-2R1 obtém-se
1 &2 &-2 &-2 &-1 0 &0 &1 &5 &-1 0 &0 &-3 &5 &3
Em seguida R3 R3+3R2
1 &2 &-2 &-2 &-1 0 &0 &1 &5 &-1 0 &0 &0 &20 &0
Por fim R3 tfrac120R3 e R2 R2-5R3, e depois eliminar o -2 em R1 usando R1 R1+2R2+2R3, chega-se à forma escalonada:
1 &2 &0 &0 &-3 0 &0 &1 &0 &-1 0 &0 &0 &1 &0

Passo 4

Da forma escalonada, temos variáveis-pivô
Logo o vetor solução é
Portanto uma base de é .

Resposta

Uma base do subespaço de soluções é
(-2,1,0,0,0),;(3,0,1,0,1),
e sua dimensão é 2.

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