a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}-\mathrm{y}+4 \mathrm{z}, 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 x+2 y, x-y+3 z, 5 x-4 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=(\mathrm{r},-\theta), onde ( \mathrm{r}, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede os seguintes itens:
  • (a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
  • (b) Decidir se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(x-y+4z,\;2x+y-z) é linear.
  • (c) Decidir se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(3x+2y,\;x-y+3z,\;5x-4z) é linear.
  • (d) Decidir se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(r,\theta)=(r,-\theta), onde (r,\theta) são coordenadas polares de (x,y), e \mathrm{T}(0)=0, é linear.
  • (e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto), e dizer se essa transformação é bijetora.
Informações relevantes dadas:
  • Em (b) há uma aparente inconsistência: foi escrito o domínio \mathbb{R}^{2} mas o argumento da transformação é (x,y,z) com três coordenadas. Vou assumir que a intenção foi \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com \mathrm{T}(x,y,z)=(x-y+4z,\;2x+y-z). (Estou apenas corrigindo a tipografia; se a sua prova tiver outra intenção, avise.)
  • Em (d) as coordenadas estão dadas em polares; isso implica relações entre polares e cartesianas que precisaremos usar: x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.

Passo 2

Definições essenciais (passo-a-passo, sem pressa):
  • Transformação linear: seja V e W espaços vetoriais (aqui \mathbb{R}^n). Uma função T:V\to W é linear se satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar c\in\mathbb{R}: T(u+v)=T(u)+T(v)
T(c\,u)=c\,T(u).
Intuição: T preserva soma e multiplicação por escalar; em \mathbb{R}^n isso costuma ocorrer quando cada componente de T é uma combinação linear (sem termos constantes) das coordenadas de entrada.
  • Núcleo (kernel): para T:V\to W, o núcleo é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero de W: \ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.O núcleo é um subespaço de V. A nulidade é \dim(\ker(T)).
  • Imagem (range): é o conjunto de valores atingidos por T: \operatorname{Im}(T)=\{w\in W \mid \exists v\in V,\;T(v)=w\}.O posto ( \operatorname{rank}) é \dim(\operatorname{Im}(T)). Para transformações entre espaços finitos vale a relação (teorema do núcleo e imagem): \dim(V)=\operatorname{nulidade}(T)+\operatorname{posto}(T).
  • Testes práticos de linearidade: na prática em \mathbb{R}^n verificamos se cada componente de T é uma forma linear (ou seja, soma de termos do tipo constante vezes cada coordenada, sem constantes isoladas). Outra forma é verificar as duas propriedades com vetores genéricos.

Passo 3

Analisando (b). Primeiro a correção: supondo \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} dada por
\mathrm{T}(x,y,z)=(x-y+4z,\;2x+y-z).
Verificação de linearidade (dois jeitos, aqui uso a observação sobre componentes):
  • Cada componente é soma de termos do tipo (constante) \cdot x, (constante) \cdot y, (constante) \cdot z. Não há termos constantes independentes das variáveis.
  • Portanto, T preserva soma e multiplicação por escalar; mais formalmente, para vetores u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) e escalar c: T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
=\big((x_1+x_2)-(y_1+y_2)+4(z_1+z_2),\;2(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-(z_1+z_2)\big)
=T(u)+T(v).
E análogamente T(cu)=cT(u). Logo T é linear.
  • Representação matricial: existe uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times 3} tal que T(v)=A v. Aqui A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 4\\[4pt] 2 & 1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Analisando (c). A transformação é
\mathrm{T}(x,y,z)=(3x+2y,\;x-y+3z,\;5x-4z),
ou seja cada componente é combinação linear das entradas sem termo constante, então a mesma argumentação do passo anterior vale: T é linear. A matriz associada A\in\mathbb{R}^{3\times 3} é
A=\begin{pmatrix}3 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 3\\[4pt] 5 & 0 & -4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Analisando (d). A transformação é dada em coordenadas polares: \mathrm{T}(r,\theta)=(r,-\theta). Para verificar linearidade precisamos interpretar essa ação em coordenadas cartesianas (porque linearidade é definida no espaço vetorial \mathbb{R}^2 com soma vetorial usual).
  • Relação polares ↔ cartesianas: x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
  • Aplicando \mathrm{T} e reconvertendo para cartesiano: \mathrm{T}(r,\theta)\\ \text{(em cartesianas)} = \big(r\cos(-\theta),\;r\sin(-\theta)\big).Usando propriedades trigonométricas \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta, obtemos \mathrm{T}(r,\theta)=(r\cos\theta,\;-r\sin\theta)=(x,\;-y).
  • Logo \mathrm{T} age exatamente como a reflexão em relação ao eixo x: (x,y)\mapsto(x,-y).
  • A transformação (x,y)\mapsto(x,-y) é linear (pode ser escrita como multiplicação pela matriz diagonal \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}). A definição dada \mathrm{T}(0)=0 está coerente.
  • Conclusão: \mathrm{T} é linear e sua matriz é B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Escolha para (e): vou trabalhar com a transformação de (c) (porque é quadrada \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) e permite discutir bijetividade). Relembrando a matriz \[A=\begin{pmatrix}3 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 3\\[4pt] 5 & 0 & -4\end{pmatrix}.
Objetivos: encontrar \ker(T), \operatorname{Im}(T), nulidade e posto, e verificar bijetividade.
Procedimento para \ker(T): resolver A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}=0 por eliminação de Gauss.
Escrevendo o sistema:
\begin{cases} 3x+2y+0z=0,\\[4pt] x-y+3z=0,\\[4pt] 5x+0y-4z=0. \end{cases}
Faço eliminação (mostro passos):
  • Troco a primeira linha pela segunda para ter pivô (1]:
    \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\[4pt] 3 & 2 & 0\\[4pt] 5 & 0 & -4 \end{pmatrix}.
  • Zerar abaixo do pivô de primeira coluna: R_2\leftarrow R_2-3R_1\quad\Rightarrow\quad R_2=(0,\;5,\;-9).
R_3\leftarrow R_3-5R_1\quad\Rightarrow\quad R_3=(0,\;5,\;-19).
Matriz agora:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 5 & -9\\[4pt] 0 & 5 & -19 \end{pmatrix}.
  • Zerar em R_3\) o elemento da segunda coluna subtraindo \(R_2\): \[R_3\leftarrow R_3-R_2\quad\Rightarrow\quad R_3=(0,\;0,\;-10).Sistema triangular obtido corresponde às equações: \begin{cases} x-y+3z=0,\\[4pt] 5y-9z=0,\\[4pt] -10z=0. \end{cases}
  • Da terceira equação vem imediatamente z=0\]. Substituindo na segunda: \(5y-9\cdot 0=0\Rightarrow y=0. Substituindo na primeira: x-0+3\cdot 0=0\Rightarrow x=0.
  • Conclusão: a única solução é o vetor zero, logo \ker(T)=\{(0,0,0)\}.A nulidade (dimensão do kernel) é \operatorname{nulidade}(T)=0.]

Passo 7

Determinar a imagem e o posto e verificar bijetividade:
  • Como o kernel é trivial e o domínio tem dimensão 3, pelo teorema da nulidade e posto: \dim(\mathbb{R}^3)=\operatorname{nulidade}(T)+\operatorname{posto}(T)
3=0+\operatorname{posto}(T)\quad\Rightarrow\quad\operatorname{posto}(T)=3.
  • Posto 3 significa que as colunas de A geram todo \mathbb{R}^3, isto é, \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
  • Uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão é bijetora se e somente se seu kernel é \{0\} (ou equivalentemente se o posto é a dimensão do espaço). Como \ker(T)=\{0\} e \operatorname{posto}(T)=3, concluímos que T é bijetora (injetora e sobrejetora).
  • Observação alternativa (checagem rápida do determinante): o determinante de A vale \det(A)=3\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]0 & -4\end{pmatrix}-2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]5 & -4\end{pmatrix} =3(4)-2(-19)=12+38=50\neq 0,o que confirma que A é invertível e portanto T é bijetora.]

Resposta

(a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para quaisquer u,v\in V e c\in\mathbb{R}, valerem T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=cT(u). Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) Sim, é linear (assumindo \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com \mathrm{T}(x,y,z)=(x-y+4z,\;2x+y-z)).
(c) Sim, é linear ( \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} com matriz \begin{pmatrix}3&2&0\\[4pt]1&-1&3\\[4pt]5&0&-4\end{pmatrix}).
(d) Sim, é linear; em coordenadas cartesianas \mathrm{T}(x,y)=(x,-y) com matriz \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}.
(e) Para a transformação de (c): \ker(T)=\{(0,0,0)\}. \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3. Nulidade =0. Ordem (posto) =3. A transformação é bijetora.]

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