a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}-3 \mathrm{z}, 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+4 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 x+2 y, x-y+2 z, 4 x+5 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(2 \mathrm{r}, \theta-\frac{\pi}{3}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • (a) Definir: (i) transformação linear; (ii) núcleo de transformação linear.
  • (b) Decidir se a transformação \mathrm{T} é linear, onde o enunciado escreveu \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} mas depois deu \mathrm{T}(x,y,z)=(x+y-3z,\;2x-y+4z). Aqui há uma incompatibilidade entre domínio e fórmula. Vou explicitar: a fórmula usa três coordenadas, então vou assumir que o domínio correto é \mathbb{R}^{3}, isto é \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}. Vou declarar essa suposição explicitamente e seguir com ela.
  • (c) Decidir se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(3x+2y,\;x-y+2z,\;4x+5z) é linear.
  • (d) Decidir se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=(2r,\;\theta-\tfrac{\pi}{3}) (com \mathrm{T}(0)=0) é linear. Aqui é importante notar que o enunciado dá T em coordenadas polares; posso converter para coordenadas cartesianas para verificar linearidade.
  • (e) Escolher uma das transformações lineares acima e determinar: núcleo, imagem, nulidade e ordem; decidir se é bijetora. Vou escolher a transformação da letra (c) para esta parte, porque ela mapeia \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e permite analisar invertibilidade de forma didática.

Passo 2

Definições e método para verificar linearidade (aula prática, passo a passo):
  • Definição de transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se ela preserva soma e multiplicação por escalar. Formalmente, T é linear se, para todo \mathbf{u},\mathbf{v} no domínio e todo escalar \alpha, vale
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})
e
T(\alpha \mathbf{u})=\alpha T(\mathbf{u}).
Essas duas propriedades juntas implicam que T preserva qualquer combinação linear:
T\big(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}\big)=\alpha T(\mathbf{u})+\beta T(\mathbf{v}).
Um jeito prático de reconhecer linearidade: se a fórmula de T pode ser escrita como multiplicação por uma matriz (isto é, cada componente da imagem é uma combinação linear das coordenadas do vetor de entrada, sem termos constantes), então T é linear.
  • Definição de núcleo (kernel): o núcleo de uma transformação linear T:V\to W é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor zero em W. Formalmente,
\ker(T)=\{\mathbf{v}\in V \mid T(\mathbf{v})=\mathbf{0}\}.
Intuição: são os vetores “anulados” por T. A nulidade é a dimensão de \ker(T). A imagem (ou posto) é o subespaço gerado pelos vetores do tipo T(\mathbf{v}); sua dimensão é o posto (rank). O Teorema da Dimensão (Teorema do Núcleo e Imagem) em espaços finito-dimensionais diz
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=\dim(V).

Passo 3

Verificação da linearidade para (b) (assumindo domínio \mathbb{R}^{3}):
  • A transformação dada é
T(x,y,z)=(x+y-3z,\;2x-y+4z).
Cada componente é uma combinação linear das coordenadas x,y,z sem termos constantes. Posso escrever T como multiplicação por matriz A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3\\[4pt] 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}\\ \text{para }\mathbf{v}=(x,y,z)^{T}.
  • Qualquer aplicação da forma \mathbf{v}\mapsto A\mathbf{v} é linear, porque a multiplicação por matriz preserva soma e produtos por escalares:
A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v},\qquad A(\alpha\mathbf{u})=\alpha A\mathbf{u}.
  • Conclusão: (b) é uma transformação linear (com a suposição explícita de domínio \mathbb{R}^{3}).]

Passo 4

Verificação da linearidade para (c) e cálculo de sua matriz:
  • A transformação é
T(x,y,z)=(3x+2y,\;x-y+2z,\;4x+5z).
Também é dada por combinações lineares das coordenadas sem termos constantes, portanto pode ser escrita como T(\mathbf{v})=A\mathbf{v} com
A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 4 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
  • Como antes, toda função do tipo \mathbf{v}\mapsto A\mathbf{v} é linear. Portanto (c) é linear.
  • Para a parte (e) vou usar exatamente esta matriz A da letra (c) e analisar núcleo, imagem, nulidade, posto e bijetividade. Antes de resolver, mostro como testar invertibilidade (que dá informação sobre núcleo e imagem): calcular o determinante de A.]

Passo 5

Cálculo do determinante de A (para (c)) e interpretação — passo a passo:
  • Escrevo a matriz novamente:
A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 4 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
  • Calculo o determinante expandindo pela primeira linha (regra de Laplace):
\det(A)=3\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]4 & 5\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
  • Calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}=(-1)\cdot 5 - 2\cdot 0 = -5.
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]4 & 5\end{pmatrix}=1\cdot 5 - 2\cdot 4 = 5-8 = -3.
  • Substituo:
\det(A)=3\cdot(-5)-2\cdot(-3)= -15 +6 = -9.
  • Conclusão: \det(A)=-9\neq 0. Como o determinante é não nulo, A é invertível. Isso tem consequências imediatas: o núcleo de T é apenas o vetor zero e a imagem é todo \mathbb{R}^{3}; o posto (rank) é 3 e a nulidade é 0. Além disso T é bijetora (injetiva e sobrejetiva).]

Passo 6

Verificação da linearidade para (d) — converter coordenadas polares para cartesianas e mostrar matriz linear:
  • A transformação em polares é
T(r,\theta)=(2r,\;\theta-\tfrac{\pi}{3}),
onde o vetor original em cartesianas é (x,y)=(r\cos\theta,\;r\sin\theta). A imagem T(r,\theta) representa em cartesianas o vetor
\big(2r\cos(\theta-\tfrac{\pi}{3}),\;2r\sin(\theta-\tfrac{\pi}{3})\big).
  • Uso as fórmulas de ângulo-diferença:
\cos(\theta-\tfrac{\pi}{3})=\cos\theta\cos\tfrac{\pi}{3}+\sin\theta\sin\tfrac{\pi}{3},
\sin(\theta-\tfrac{\pi}{3})=\sin\theta\cos\tfrac{\pi}{3}-\cos\theta\sin\tfrac{\pi}{3}.
Como \cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2} e \sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
2r\cos(\theta-\tfrac{\pi}{3})=2r\Big(\tfrac{1}{2}\cos\theta+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\Big)=r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta),
2r\sin(\theta-\tfrac{\pi}{3})=2r\Big(\tfrac{1}{2}\sin\theta-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\Big)=r(\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta).
  • Substituindo \cos\theta=\tfrac{x}{r} e \sin\theta=\tfrac{y}{r} (para r\neq 0; T(0)=0 está dado), obtenho em coordenadas cartesianas:
T(x,y)=\big(x+\sqrt{3}\,y,\; -\sqrt{3}\,x+y\big).
  • Escrevo isso como multiplicação por matriz:
T\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & \sqrt{3}\\[4pt]-\sqrt{3} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
  • Como é multiplicação por matriz (sem termos constantes), T é linear. (Observação: geometricamente T é o escalar 2 multiplicado pela rotação de ângulo -\tfrac{\pi}{3}, ou seja T=2\cdot R_{-\pi/3}, e rotações + escalações são transformações lineares.)]

Passo 7

Resumo das decisões e cálculo final para o item (e) (transformação escolhida: (c)) — interpretar nulidade, posto e bijetividade:
  • Para a transformação da letra (c) com matriz
A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 4 & 0 & 5 \end{pmatrix}
computamos \det(A)=-9\neq 0. Isso implica:
  • \ker(T)=\{\mathbf{0}\}. (Porque matriz invertível só anula o vetor zero.)
  • \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}. (Porque posto =3.)
  • Nulidade =\dim(\ker T)=0.
  • Ordem (posto) =\dim(\operatorname{Im} T)=3.
  • T é bijetora, pois é invertível (injetiva e sobrejetiva).]

Resposta

(a) Transformação linear: T:V\to W é linear se para todo \mathbf{u},\mathbf{v}\in V e todo escalar \alpha valem
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) \quad\text{e}\quad T(\alpha\mathbf{u})=\alpha T(\mathbf{u}).
Núcleo: \ker(T)=\{\mathbf{v}\in V\mid T(\mathbf{v})=\mathbf{0}\}.
(b) Linear (assumindo domínio \mathbb{R}^{3}, pois a fórmula usa (x,y,z)).
(c) Linear.
(d) Linear.
(e) Escolhendo (c): \ker(T)=\{\,(0,0,0)\,\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}
Nulidade =0
Ordem (posto) =3
Bijetora: sim

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