a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}-3 \mathrm{z}, 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+4 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 x+2 y, x-y+2 z, 4 x+5 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(2 \mathrm{r}, \theta-\frac{\pi}{3}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:
(a) Definir: (i) transformação linear; (ii) núcleo de transformação linear.
(b) Decidir se a transformação \mathrm{T} é linear, onde o enunciado escreveu \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} mas depois deu \mathrm{T}(x,y,z)=(x+y-3z,\;2x-y+4z). Aqui há uma incompatibilidade entre domínio e fórmula. Vou explicitar: a fórmula usa três coordenadas, então vou assumir que o domínio correto é \mathbb{R}^{3}, isto é \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}. Vou declarar essa suposição explicitamente e seguir com ela.
(c) Decidir se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(3x+2y,\;x-y+2z,\;4x+5z) é linear.
(d) Decidir se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=(2r,\;\theta-\tfrac{\pi}{3}) (com \mathrm{T}(0)=0) é linear. Aqui é importante notar que o enunciado dá T em coordenadas polares; posso converter para coordenadas cartesianas para verificar linearidade.
(e) Escolher uma das transformações lineares acima e determinar: núcleo, imagem, nulidade e ordem; decidir se é bijetora. Vou escolher a transformação da letra (c) para esta parte, porque ela mapeia \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e permite analisar invertibilidade de forma didática.
Passo 2
Definições e método para verificar linearidade (aula prática, passo a passo):
Definição de transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se ela preserva soma e multiplicação por escalar. Formalmente, T é linear se, para todo \mathbf{u},\mathbf{v} no domínio e todo escalar \alpha, vale
Um jeito prático de reconhecer linearidade: se a fórmula de T pode ser escrita como multiplicação por uma matriz (isto é, cada componente da imagem é uma combinação linear das coordenadas do vetor de entrada, sem termos constantes), então T é linear.
Definição de núcleo (kernel): o núcleo de uma transformação linear T:V\to W é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor zero em W. Formalmente,
\ker(T)=\{\mathbf{v}\in V \mid T(\mathbf{v})=\mathbf{0}\}.
Intuição: são os vetores “anulados” por T. A nulidade é a dimensão de \ker(T). A imagem (ou posto) é o subespaço gerado pelos vetores do tipo T(\mathbf{v}); sua dimensão é o posto (rank). O Teorema da Dimensão (Teorema do Núcleo e Imagem) em espaços finito-dimensionais diz
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=\dim(V).
Passo 3
Verificação da linearidade para (b) (assumindo domínio \mathbb{R}^{3}):
A transformação dada é
T(x,y,z)=(x+y-3z,\;2x-y+4z).
Cada componente é uma combinação linear das coordenadas x,y,z sem termos constantes. Posso escrever T como multiplicação por matriz A:
Como antes, toda função do tipo \mathbf{v}\mapsto A\mathbf{v} é linear. Portanto (c) é linear.
Para a parte (e) vou usar exatamente esta matriz A da letra (c) e analisar núcleo, imagem, nulidade, posto e bijetividade. Antes de resolver, mostro como testar invertibilidade (que dá informação sobre núcleo e imagem): calcular o determinante de A.]
Passo 5
Cálculo do determinante de A (para (c)) e interpretação — passo a passo:
Conclusão: \det(A)=-9\neq 0. Como o determinante é não nulo, A é invertível. Isso tem consequências imediatas: o núcleo de T é apenas o vetor zero e a imagem é todo \mathbb{R}^{3}; o posto (rank) é 3 e a nulidade é 0. Além disso T é bijetora (injetiva e sobrejetiva).]
Passo 6
Verificação da linearidade para (d) — converter coordenadas polares para cartesianas e mostrar matriz linear:
A transformação em polares é
T(r,\theta)=(2r,\;\theta-\tfrac{\pi}{3}),
onde o vetor original em cartesianas é (x,y)=(r\cos\theta,\;r\sin\theta). A imagem T(r,\theta) representa em cartesianas o vetor
Como é multiplicação por matriz (sem termos constantes), T é linear. (Observação: geometricamente T é o escalar 2 multiplicado pela rotação de ângulo -\tfrac{\pi}{3}, ou seja T=2\cdot R_{-\pi/3}, e rotações + escalações são transformações lineares.)]
Passo 7
Resumo das decisões e cálculo final para o item (e) (transformação escolhida: (c)) — interpretar nulidade, posto e bijetividade: