a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+3 \mathrm{y}-2 \mathrm{z}, 4 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x-2 y+3 z, 3 x+y, 2 x+z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\frac{\mathrm{r}}{3}, 4 \theta\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

Enunciado e o que se pede (resumido e organizado):
  • (a) Definir: transformação linear e núcleo (kernel) de uma transformação linear.
  • (b) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\qquad \mathrm{T}(x,y,z)=(x+3y-2z,\;4x-y+z)é linear. (Obs.: no enunciado original apareceu \mathbb{R}^2 como domínio mas a presença de (x,y,z) pede \mathbb{R}^3; vou considerar \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2.)
  • (c) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\qquad \mathrm{T}(x,y,z)=(x-2y+3z,\;3x+y,\;2x+z)é linear.
  • (d) Determinar se a transformação dada em coordenadas polares \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\qquad \mathrm{T}(r,\theta)=\Big(\tfrac{r}{3},\;4\theta\Big),\\ \text{onde }(r,\theta)\text{ são as coordenadas polares de }(x,y),\\ \mathrm{T}(0)=0,ãé linear (note que a transformação é descrita via polares).
  • (e) Para UMA das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto), e dizer se é bijetora.
Observações importantes já listadas: os dados dos itens (b),(c),(d) estão acima; em (b) corrigi o domínio para \mathbb{R}^3 pois há três coordenadas.

Passo 2

Definições pedidas (de forma didática, sem pular etapas).
  • Definição de transformação linear:
    \text{Uma função } \mathrm{T}:V\to W \text{ entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer }u,v\in V\text{ e qualquer }\alpha\in\mathbb{R},çãçé
    valem as duas propriedades seguintes:
    \mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v)
    e
    \mathrm{T}(\alpha u)=\alpha\,\mathrm{T}(u).
    Explicação: a linearidade significa que \mathrm{T} “preserva” somas e multiplicações por escalares. Na prática, ao checar se uma aplicação é linear muitas vezes basta verificar estas propriedades em vetores-base ou ver se \mathrm{T} pode ser escrita como multiplicação por uma matriz (pois toda multiplicação matricial por uma matriz fixa é linear).
  • Definição de núcleo (kernel) de uma transformação linear:
    \ker(\mathrm{T})=\{v\in V \mid \mathrm{T}(v)=0\},
    onde 0 é o vetor nulo do espaço de chegada. Explicação: o núcleo é o conjunto de vetores que a transformação manda para o zero. Se \ker(\mathrm{T})=\{0\} então \mathrm{T} é injetora; a dimensão do núcleo chama-se nulidade.

Passo 3

Verificação de linearidade do item (b).
  • Escrevemos \mathrm{T} em forma matricial. A aplicação dada é \mathrm{T}(x,y,z)=(x+3y-2z,\;4x-y+z).Isso corresponde à multiplicação por uma matriz A\in\mathcal{M}_{2\times3}(\mathbb{R}): A=\begin{pmatrix}1 & 3 & -2\\[4pt]4 & -1 & 1\end{pmatrix},tal que, para todo (x,y,z)^\mathsf{T}\in\mathbb{R}^3, \mathrm{T}(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
  • Todo mapeamento dado por multiplicação por matriz fixa é linear porque a multiplicação matricial preserva soma e multiplicação por escalar. Formalmente, para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^3 e \alpha\in\mathbb{R}, A(u+v)=Au+Av,\qquad A(\alpha u)=\alpha(Au).
  • Conclusão: \mathrm{T} do item (b) é linear.]

Passo 4

Verificação de linearidade do item (c).
  • A transformação é \mathrm{T}(x,y,z)=(x-2y+3z,\;3x+y,\;2x+z).Em forma matricial A\in\mathcal{M}_{3\times3}(\mathbb{R}): A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3\\[4pt]3 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Novamente, como \mathrm{T}(v)=A v com A fixa, valem A(u+v)=Au+Av e A(\alpha u)=\alpha(Au). Logo \mathrm{T} é linear.
  • Conclusão: \mathrm{T} do item (c) é linear.]

Passo 5

Verificação (contraposição) de linearidade do item (d) — mostrar que NÃO é linear.
  • A transformação é definida via coordenadas polares. Para testar linearidade podemos buscar um contraexemplo simples que viole uma das propriedades de linearidade, por exemplo \mathrm{T}(-v)=-\mathrm{T}(v) ou \mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v).
  • Tome o vetor v=(1,0) em coordenadas cartesianas. Suas coordenadas polares são r=1, \theta=0. Então, pelo enunciado, \mathrm{T}(1,0)=\mathrm{T}(r=1,\theta=0)=\Big(\tfrac{1}{3},\;0\Big).Convertendo de volta para cartesiano (usando a regra x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta) obtemos \mathrm{T}(1,0) \text{ em cartesiano } =\Big(\tfrac{1}{3}\cos 0,\;\tfrac{1}{3}\sin 0\Big)=\Big(\tfrac{1}{3},0\Big).
  • Agora considere -v = (-1,0). As coordenadas polares de (-1,0) podem ser tomadas como r=1, \theta=\pi (um ângulo que representa o mesmo ponto). Aplicando \mathrm{T}: \mathrm{T}(-1,0)=\mathrm{T}(r=1,\theta=\pi)=\Big(\tfrac{1}{3},\;4\pi\Big).Convertendo para cartesiano: \mathrm{T}(-1,0)=\Big(\tfrac{1}{3}\cos(4\pi),\;\tfrac{1}{3}\sin(4\pi)\Big)=\Big(\tfrac{1}{3},0\Big),pois \cos(4\pi)=1 e \sin(4\pi)=0.
  • Observamos que \mathrm{T}(-1,0)=\Big(\tfrac{1}{3},0\Big)\neq -\Big(\tfrac{1}{3},0\Big)=-\mathrm{T}(1,0).Portanto a propriedade \mathrm{T}(-v)=-\mathrm{T}(v) falha, então \mathrm{T} não é linear.
  • Comentário intuitivo: representar o vetor por (r,\theta) e multiplicar o ângulo por 4 não preserva a adição vetorial nem a multiplicação por escalares; além disso, a representação polar não é única (um mesmo ponto tem ângulos distintos), o que quebra linearidade.

Passo 6

Escolha de uma transformação linear para o item (e) e justificativa do porquê: escolho a transformação do item (c) (ela é quadrada [3\times3) e permite calcular diretamente núcleo e imagem; também é interessante porque podemos verificar bijetividade). Agora vamos calcular núcleo, imagem, nulidade e posto (ordem) de forma detalhada.
  • Escrevendo novamente a matriz associada:
    A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3\\[4pt]3 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 1\end{pmatrix}.
    Procuramos \ker(\mathrm{T})=\{(x,y,z)^\mathsf{T}\in\mathbb{R}^3 \mid A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0\}. Isso dá o sistema linear homogêneo
    \begin{cases} x-2y+3z=0,\\[4pt] 3x+y+0z=0,\\[4pt] 2x+0y+z=0. \end{cases}
  • Vamos resolver por eliminação (mostrando cada passo com cuidado).
    Montamos a matriz aumentada (com a coluna de zeros):
    \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right).
    Efetuamos as operações de linha:
    • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1\]: \[R_2 = (3,1,0) - 3(1,-2,3) = (3-3,\;1+6,\;0-9) = (0,7,-9).\] - \(R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1: R_3 = (2,0,1) - 2(1,-2,3) = (2-2,\;0+4,\;1-6) = (0,4,-5).
    Agora a matriz é
    \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 7 & -9 & 0\\[4pt] 0 & 4 & -5 & 0 \end{array}\right).
    • Eliminar a entrada 4 em R_3 usando R_2: R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{4}{7}R_2.
      Calculemos a terceira linha: -5 - \tfrac{4}{7}(-9) = -5 + \tfrac{36}{7} = \tfrac{-35+36}{7}=\tfrac{1}{7}.Assim R_3=(0,0,\tfrac{1}{7}). Multiplicando R_3 por 7 (para simplificar) obtemos R_3=(0,0,1).
    • A matriz escalonada final (simplificada) é equivalente a \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 7 & -9 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right).
  • Ler as equações reduzidas:
    • Da terceira linha: 1\cdot z = 0 \Rightarrow z=0.
    • Da segunda linha: 7y -9z = 0 \Rightarrow 7y = 9z = 9\cdot 0 = 0 \Rightarrow y=0.
    • Da primeira linha: x -2y +3z = 0 \Rightarrow x = 2y -3z = 0.
    Portanto a única solução é x=y=z=0. Assim
    \ker(\mathrm{T})=\{(0,0,0)\}.
  • Conclusões sobre nulidade e posto:
    • A nulidade (dimensão do núcleo) é \dim\ker(\mathrm{T})=0.
    • Pelo Teorema da Dimensão (Teorema Núcleo-Imagens) para uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, \dim\ker(\mathrm{T})+\operatorname{rank}(A)=3.Logo o posto (rank) é \operatorname{rank}(A)=3-0=3.
    • Posto 3 em uma matriz 3\times3 significa que as colunas geram todo \mathbb{R}^3. Portanto \operatorname{Im}(\mathrm{T})=\mathbb{R}^3.
  • Bijetividade:
    • Como \ker(\mathrm{T})=\{0\} a transformação é injetora.
    • Como a imagem é todo \mathbb{R}^3 a transformação é sobrejetora.
    • Logo \mathrm{T} é bijetora (invertível).]

Resposta

(a) Uma transformação linear é uma função \mathrm{T}:V\to W que satisfaz \mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v) e \mathrm{T}(\alpha u)=\alpha\mathrm{T}(u) para todos u,v\in V e \alpha\in\mathbb{R}. O núcleo (kernel) de \mathrm{T} é \ker(\mathrm{T})=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=0\}.
(b) Sim, \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\\ \mathrm{T}(x,y,z)=(x+3y-2z,\;4x-y+z) é linear (matriz associada \begin{pmatrix}1&3&-2\\[4pt]4&-1&1\end{pmatrix}).
(c) Sim, \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\\ \mathrm{T}(x,y,z)=(x-2y+3z,\;3x+y,\;2x+z) é linear (matriz associada \begin{pmatrix}1&-2&3\\[4pt]3&1&0\\[4pt]2&0&1\end{pmatrix}).
(d) Não, a transformação em coordenadas polares \mathrm{T}(r,\theta)=\big(\tfrac{r}{3},4\theta\big) não é linear (contraexemplo: \mathrm{T}(-1,0)=\mathrm{T}(1,\pi)=(\tfrac{1}{3},0)\neq -\mathrm{T}(1,0)).
(e) Para a transformação do item (c): \ker(\mathrm{T})=\{(0,0,0)\}. \operatorname{Im}(\mathrm{T})=\mathbb{R}^3. Nulidade =0. Ordem (posto) =3. A transformação é bijetora.]

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