Defina
por
(a transposta de A). Determine
e
.
Passo 1
Beleza, o exercício diz: “Temos a transformação linear
A gente precisa achar o núcleo (ker) e a imagem (Im) de
.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente transformações lineares, e você vai precisar:
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente transformações lineares, e você vai precisar:
- Saber a definição de ker e Im de um operador linear.
- Entender como funciona a operação de transposta de uma matriz.
Passo 2
Vamos começar pelo núcleo. Por definição,
Mas
, então queremos
Isso significa que toda entrada de
é zero. Como
, isso força
Logo todas as entradas de
são zero, ou seja,
é a matriz nula.
Portanto
Portanto
Passo 3
Agora a imagem. Por definição,
Queremos ver quais matrizes
aparecem como transposta de alguma
.
Dado um qualquer, basta escolher
Dado um
Então
Ou seja, qualquer
está na imagem. Logo