Defina T: M2 times 2 M2 times 2 por T(A)=A^top (a transposta de A). Determine ker(T) e Im(T).

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Temos a transformação linear
T: M2times2to M2times2, T(A)=A^top
A gente precisa achar o núcleo (ker) e a imagem (Im) de T.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente transformações lineares, e você vai precisar:
  1. Saber a definição de ker e Im de um operador linear.
  2. Entender como funciona a operação de transposta de uma matriz.

Passo 2

Vamos começar pelo núcleo. Por definição,
ker(T)=Ain M2times2mid T(A)=0
Mas T(A)=A^top, então queremos
A^top=0
Isso significa que toda entrada de A^top é zero. Como (A^top)ij=Aji, isso força
Aji=0para todo i,j
Logo todas as entradas de A são zero, ou seja, A é a matriz nula.
Portanto
ker(T)=0

Passo 3

Agora a imagem. Por definição,
Im(T)=Bin M2times2mid exists A com T(A)=B
Queremos ver quais matrizes B aparecem como transposta de alguma A.
Dado um B qualquer, basta escolher
A = B^top
Então
T(A)=A^top=(B^top)^top=B
Ou seja, qualquer Bin M2times2 está na imagem. Logo
Im(T)=M2times2

Resposta

ker(T)=0 e Im(T)=M2times2.

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