Seja definida por . Encontre a matriz de nas bases canônicas e verifique se é injetiva.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar a matriz da transformação linear
usando as bases canônicas de cada espaço, e depois ver se T é injetiva.
Conteúdo: transformação linear, base canônica, matriz de transformação, injetividade.
Vamos precisar lembrar quais são as bases canônicas de e , saber escrever polinômios como vetores de coordenadas e usar a ideia de núcleo pra checar injetividade.
Passo 2
Base canônica de :
Base canônica de :
Regra pra montar a matriz: cada coluna é a imagem de um vetor da base do domínio, escrita em coordenadas na base do contradomínio.
T(1) = x·1 = x → em fica
T(x) = x·x = x^2 → fica
T(x^2) = x·x^2 = x^3 → fica
Passo 3
Juntando as colunas, a matriz de T nas bases canônicas é
Passo 4
T é injetiva se T(p)=0 implica p=0.
Suponha p(x)=a + b,x + c,x^2.
Então
T(p(x)) = x,p(x) = a,x + b,x^2 + c,x^3
Para isso ser o polinômio zero, precisamos de a=0, b=0, c=0.
Ou seja, o único polinômio no núcleo é o polinômio zero, logo T é injetiva.
Resposta
boxed[T]can,can = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , T é injetiva é