Seja T: P2 P3 definida por T(p(x))=x cdot p(x). Encontre a matriz de T nas bases canônicas e verifique se T é injetiva.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a matriz da transformação linear
T: P2 to P3, Tl(p(x)r)=x,p(x)
usando as bases canônicas de cada espaço, e depois ver se T é injetiva.
Conteúdo: transformação linear, base canônica, matriz de transformação, injetividade.
Vamos precisar lembrar quais são as bases canônicas de P2 e P3, saber escrever polinômios como vetores de coordenadas e usar a ideia de núcleo pra checar injetividade.

Passo 2

Base canônica de P2: 1,,x,,x^2
Base canônica de P3: 1,,x,,x^2,,x^3
Regra pra montar a matriz: cada coluna é a imagem de um vetor da base do domínio, escrita em coordenadas na base do contradomínio.
  1. T(1) = x·1 = x → em 1,x,x^2,x^3 fica [0,1,0,0]^T
  2. T(x) = x·x = x^2 → fica [0,0,1,0]^T
  3. T(x^2) = x·x^2 = x^3 → fica [0,0,0,1]^T

Passo 3

Juntando as colunas, a matriz de T nas bases canônicas é
M = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

T é injetiva se T(p)=0 implica p=0.
Suponha p(x)=a + b,x + c,x^2.
Então
T(p(x)) = x,p(x) = a,x + b,x^2 + c,x^3
Para isso ser o polinômio zero, precisamos de a=0, b=0, c=0.
Ou seja, o único polinômio no núcleo é o polinômio zero, logo T é injetiva.

Resposta

boxed[T]can,can = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , T é injetiva é

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