Defina
, a união disjunta contendo exatamente os elementos de
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define a diferença simétrica ou união disjunta
e pede para mostrar a associatividade
Vamos usar um argumento elemento-a-elemento: mostrar que um
pertence ao lado esquerdo se e somente se pertence ao lado direito.
Passo 2
Lembremos que, para quaisquer conjuntos
, vale
Passo 3
Aplicando essa definição a
, temos
Agora expandimos “
” e “
”:
Substituindo e repartindo termos, obtemos exatamente os casos em que
pertence a um número ímpar de conjuntos entre
, ou seja, ele está em exatamente um ou em todos os três.
Passo 4
De modo análogo, ao aplicar o mesmo desenvolvimento a
chegamos ao mesmo critério:
Passo 5
Como as duas expressões caracterizam o mesmo conjunto de elementos (aqueles que pertencem a um número ímpar de conjuntos entre
), concluímos que