Defina A oplus B=A cup B-(A cap B), a união disjunta contendo exatamente os elementos de A e B. Mostre que (A oplus B) oplus C=A oplus(B oplus C).

Passo 1

O enunciado define a diferença simétrica ou união disjunta
A oplus B = A cup B ;-;(A cap B)
e pede para mostrar a associatividade
(A oplus B)oplus C ;=; Aoplus (Boplus C)
Vamos usar um argumento elemento-a-elemento: mostrar que um x pertence ao lado esquerdo se e somente se pertence ao lado direito.

Passo 2

Lembremos que, para quaisquer conjuntos X,Y, vale
xin Xoplus Y Long<=ftrightarrow l(xin X e xnotin Yr) ;lor; l(xin Y e xnotin Xr)

Passo 3

Aplicando essa definição a (Aoplus B)oplus C, temos
xin (Aoplus B)oplus C ;Long<=ftrightarrow; l(xin Aoplus B e xnotin Cr) ;lor; l(xin C e xnotin Aoplus Br)
Agora expandimos “ xin Aoplus B” e “ xnotin Aoplus B”:
xin Aoplus B Leftrightarrow (xin Aland xnotin B)lor(xin Bland xnotin A),
xnotin Aoplus B Leftrightarrow (xnotin Aland xnotin B)lor(xin Aland xin B)
Substituindo e repartindo termos, obtemos exatamente os casos em que x pertence a um número ímpar de conjuntos entre A,B,C, ou seja, ele está em exatamente um ou em todos os três.

Passo 4

De modo análogo, ao aplicar o mesmo desenvolvimento a Aoplus(Boplus C) chegamos ao mesmo critério:
xin Aoplus(Boplus C) Long<=ftrightarrow (x) está em um número ímpar de conjuntos entre (A,B,C) áúí

Passo 5

Como as duas expressões caracterizam o mesmo conjunto de elementos (aqueles que pertencem a um número ímpar de conjuntos entre A,B,C), concluímos que
(Aoplus B)oplus C ;=; Aoplus (Boplus C)

Resposta

(A oplus B)oplus C = Aoplus(Boplus C).

Exercícios relacionados