Definir e construir a tábua do grupo das simetrias do quadrado, conforme pg. 150 do livro texto Álgebra Moderna.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para definir e construir a tabela do grupo das simetrias de um quadrado. Isso faz parte da matéria de Álgebra Moderna, mais especificamente do estudo de grupos de simetria. Para resolver isso, a gente precisa identificar todas as simetrias que um quadrado possui e depois organizar essas simetrias em uma tabela que mostra como elas se combinam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são simetrias de um quadrado. As simetrias são movimentos que transformam o quadrado em si mesmo sem alterar sua forma ou tamanho. No caso do quadrado, essas simetrias incluem rotações e reflexões.
Passo 3
Vamos listar todas as simetrias do quadrado:
- Identidade (e): Não faz nada, mantém o quadrado igual.
- Rotação 90 graus no sentido horário ®.
- Rotação 180 graus (r²).
- Rotação 270 graus no sentido horário (r³).
- Reflexão sobre o eixo horizontal (s).
- Reflexão sobre o eixo vertical (s’).
- Reflexão sobre a diagonal principal (d).
- Reflexão sobre a diagonal secundária (d’).
Essas 8 simetrias formam o grupo de simetrias do quadrado, também conhecido como dihedral de ordem 8, denotado por D₄.
Passo 4
Agora, vamos construir a tabela do grupo, também chamada de tabela de Cayley. Nessa tabela, listamos todas as simetrias tanto nas linhas quanto nas colunas, e cada célula mostra o resultado da combinação das duas simetrias correspondentes.
Passo 5
Para preencher a tabela, precisamos saber como as simetrias se combinam. Por exemplo, se aplicarmos uma rotação de 90 graus seguida de uma reflexão sobre o eixo horizontal, precisamos determinar o resultado dessa combinação.
Vamos preencher a tabela passo a passo, garantindo que cada combinação respeite as propriedades de um grupo, como a existência de um elemento neutro (a identidade) e a existência de inversos para cada elemento.
Resposta
A tabela do grupo das simetrias do quadrado é a seguinte:
Nessa tabela:
- e: Identidade.
- r: Rotação de 90°.
- r²: Rotação de 180°.
- r³: Rotação de 270°.
- s: Reflexão horizontal.
- s’: Reflexão vertical.
- d: Reflexão sobre a diagonal principal.
- d’: Reflexão sobre a diagonal secundária.
Cada célula representa a composição das duas simetrias correspondentes, seguindo as regras de combinação do grupo D₄.