Sejam A, B subset U. Definamos:
CU A=x in U: x notin A ; A-B=a in A: a notin B
Prove que:
A cap CU A=varnothing ; A cup CU A=U;

Passo 1

O enunciado considera conjuntos A,Bsubset U e define o complemento de A em U como
CUA = ,xin U : xnotin A,
além da diferença A - B = ,ain A : anotin B.
O que precisamos provar é
  1. Acap CUA = varnothing,
  2. Acup CUA = U.
    Para isso, vamos usar diretamente a definição de interseção, união e complemento, junto com a lógica de proposições.

Passo 2

Prova de Acap CUA = varnothing.
Suponha, por absurdo, que exista x tal que
x in Acap CUA
Pela definição de interseção, isso significa simultaneamente
xin A e xin CUA
Mas xin CUA implica, por definição de complemento, que
xin U e xnotin A
Logo obtemos a contradição de ter xin A e xnotin A. Portanto não há nenhum x em Acap CUA, ou seja
Acap CUA = varnothing

Passo 3

Prova de Acup CUA = U.
(1) Primeiro mostramos Acup CUA subset U.
Se xin Acup CUA, então ou xin A ou xin CUA.
  • Se xin A, como Asubset U, segue xin U.
  • Se xin CUA, pela definição de CUA já temos xin U.
    Logo em ambos os casos xin U, provando a inclusão.
(2) Agora mostramos U subset Acup CUA.
Seja xin U. Dois casos:
  • Se xin A, então xin Acup CUA.
  • Se xnotin A, como xin U, pela definição de CUA temos xin CUA, e assim xin Acup CUA.
    Em qualquer dos casos, xin Acup CUA. Portanto
U subset Acup CUA
Com as duas inclusões concluímos
Acup CUA = U

Resposta

Acap CUA = varnothing
Acup CUA = U

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