Sejam
. Definamos:
Prove que:
;
Passo 1
O enunciado considera conjuntos
e define o complemento de
em
como
além da diferença
.
O que precisamos provar é
O que precisamos provar é
-
, -
.
Para isso, vamos usar diretamente a definição de interseção, união e complemento, junto com a lógica de proposições.
Passo 2
Prova de
.
Suponha, por absurdo, que exista tal que
Suponha, por absurdo, que exista
Pela definição de interseção, isso significa simultaneamente
Mas
implica, por definição de complemento, que
Logo obtemos a contradição de ter
e
. Portanto não há nenhum
em
, ou seja
Passo 3
Prova de
.
(1) Primeiro mostramos .
Se , então ou
ou
.
(1) Primeiro mostramos
Se
- Se
, como , segue . - Se
, pela definição de já temos .
Logo em ambos os casos, provando a inclusão.
(2) Agora mostramos
.
Seja . Dois casos:
Seja
- Se
, então . - Se
, como , pela definição de temos , e assim .
Em qualquer dos casos,. Portanto
Com as duas inclusões concluímos