Sejam A, B subset U. Definamos:
CU A=x in U: x notin A ; A-B=a in A: a notin B
Prove que:
A-B=A cap CU B;

Passo 1

O enunciado considera dois conjuntos A,Bsubset U e define o complemento de A em U por
CUA=xin Umid xnotin A
e a diferença de A e B por
A - B=ain Amid anotin B
Queremos provar que
A - B = Acap CUB
Vamos usar o método de dupla inclusão, isto é, mostrar
  1. A - Bsubseteq Acap CUB
  2. Acap CUBsubseteq A - B.

Passo 2

Provar A - Bsubseteq Acap CUB.
Seja xin A - B.
Pela definição de diferença, temos
xin A e xnotin B
Como Asubset U, segue xin U. Logo, pela definição de complemento, xin CUB.
Assim xin A e xin CUB, ou seja,
xin Acap CUB
Isso prova A - Bsubseteq Acap CUB.

Passo 3

Provar Acap CUBsubseteq A - B.
Seja xin Acap CUB.
Então
xin A e xin CUB
Pela definição de complemento, xin U e xnotin B.
Portanto xin A e xnotin B, o que significa xin A - B.
Isso prova Acap CUBsubseteq A - B.

Resposta

A - B = Acap CUB

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