Sejam
. Definamos:
Prove que:
;
Passo 1
O enunciado considera dois conjuntos
e define o complemento de
em
por
e a diferença de
e
por
Queremos provar que
Vamos usar o método de dupla inclusão, isto é, mostrar
-
-
.
Passo 2
Provar
.
Seja .
Pela definição de diferença, temos
Seja
Pela definição de diferença, temos
Como
, segue
. Logo, pela definição de complemento,
.
Assim e
, ou seja,
Assim
Isso prova
.
Passo 3
Provar
.
Seja .
Então
Seja
Então
Pela definição de complemento,
e
.
Portanto e
, o que significa
.
Isso prova .
Portanto
Isso prova