Sejam (G, star) e ( H, circ ) grupos quaisquer. Mostre que G times H tem estrutura de grupo em relação à operação De<a assim definida: (x, y) De<a(x^prime, y^prime)=(x star x^prime, y circ y^prime), quaisquer que sejam (x, y) e (x^prime, y^prime) em G times H.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto produto Gtimes H, com a operação
(x,y),De<a,(x',y') = (xstar x',,ycirc y'),
é um grupo. Para isso precisamos verificar as quatro propriedades de grupo:
  1. fechamento,
  2. associatividade,
  3. existência de elemento neutro,
  4. existência de inverso.

Passo 2

Verificamos fechamento. Se (x,y) e l(x',y'r) estão em Gtimes H, então xstar x'in G (pois G é grupo) e ycirc y'in H (pois H é grupo). Logo
(x,y),De<a,(x',y') ;=;l(xstar x',,ycirc y'r);in;Gtimes H

Passo 3

Verificamos associatividade. Tomando três elementos (x1,y1),,(x2,y2),,(x3,y3)in Gtimes H, temos
l((x1,y1),De<a,(x2,y2)r),De<a,(x3,y3) = l(x1star x2,,y1circ y2r),De<a,(x3,y3) = l((x1star x2)star x3,,(y1circ y2)circ y3r)
Como star e circ são associativas, (x1star x2)star x3 = x1star (x2star x3) e (y1circ y2)circ y3 = y1circ (y2circ y3). Portanto
l((x1,y1),De<a,(x2,y2)r),De<a,(x3,y3) = (x1,y1),De<a,l((x2,y2),De<a,(x3,y3)r),
e a operação De<a é associativa.

Passo 4

Encontramos o elemento neutro. Como G tem neutro eG e H tem neutro eH, definimos
e = (eG,eH)in Gtimes H
Então para todo (x,y)in Gtimes H
(x,y),De<a,(eG,eH) = (xstar eG,,ycirc eH) = (x,y),
e analogamente
(eG,eH),De<a,(x,y) = (eGstar x,,eHcirc y) = (x,y)

Passo 5

Mostramos a existência de inverso. Se (x,y)in Gtimes H, como G e H são grupos, existem inversos x^-1 e y^-1. Então definimos
(x,y)^-1 = (x^-1,,y^-1)
Verifica-se
(x,y),De<a,(x^-1,y^-1) = (xstar x^-1,,ycirc y^-1) = (eG,eH),
e de modo semelhante operando na ordem inversa.

Resposta

Portanto, (Gtimes H,De<a) satisfaz fechamento, associatividade, tem neutro (eG,eH) e todo elemento (x,y) tem inverso (x^-1,y^-1). Logo Gtimes H com a operação De<a é de fato um grupo.

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