Sejam
e (
) grupos quaisquer. Mostre que
tem estrutura de grupo em relação à operação
assim definida:
, quaisquer que sejam
e
em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto produto
, com a operação
é um grupo. Para isso precisamos verificar as quatro propriedades de grupo:
- fechamento,
- associatividade,
- existência de elemento neutro,
- existência de inverso.
Passo 2
Verificamos fechamento. Se
e
estão em
, então
(pois
é grupo) e
(pois
é grupo). Logo
Passo 3
Verificamos associatividade. Tomando três elementos
, temos
Como
e
são associativas,
e
. Portanto
e a operação
é associativa.
Passo 4
Encontramos o elemento neutro. Como
tem neutro
e
tem neutro
, definimos
Então para todo
e analogamente
Passo 5
Mostramos a existência de inverso. Se
, como
e
são grupos, existem inversos
e
. Então definimos
Verifica-se
e de modo semelhante operando na ordem inversa.
Resposta
Portanto,
satisfaz fechamento, associatividade, tem neutro
e todo elemento
tem inverso
. Logo
com a operação
é de fato um grupo.