Defina:
Vetor unitário

Passo 1

O enunciado pede que eu defina o termo “Vetor unitário”. Não há dados numéricos no enunciado nem outras condições fornecidas. A única pergunta é: “O que é um vetor unitário?”

Passo 2

Intuição rápida e palavra amiga: um vetor unitário é só um vetor que tem comprimento igual a 1. Ou seja, ele só guarda informação de direção (e sentido), não de “tamanho”. Essa é a ideia que você deve carregar para a prova — quando alguém fala “vetor unitário”, pense imediatamente: “comprimento 1, direção importante”.
Agora a definição formal, com notação. Seja \mathbf{u} um vetor em \mathbb{R}^n. O comprimento (norma) de \mathbf{u} é dado por
\lVert \mathbf{u}\rVert=\sqrt{u_1^2+u_2^2+\dots+u_n^2},
onde \mathbf{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n). Dizemos que \mathbf{u} é um vetor unitário se, e somente se,
\lVert \mathbf{u}\rVert=1.
Essa é a definição matemática exata: norma igual a 1.

Passo 3

Como se obtém um vetor unitário a partir de um vetor qualquer? Se \mathbf{v} é um vetor não nulo ( \mathbf{v}\neq\mathbf{0}), o vetor unitário que tem a mesma direção de \mathbf{v} é dado por normalização:
\hat{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{v}}{\lVert \mathbf{v}\rVert}.
Aqui \hat{\mathbf{v}} (lê-se “v chapéu”) é o vetor unitário na direção de \mathbf{v}. Para ver que isso realmente tem norma 1, calcule:
\lVert \hat{\mathbf{v}}\rVert = \left\lVert \frac{\mathbf{v}}{\lVert \mathbf{v}\rVert}\right\rVert = \frac{\lVert \mathbf{v}\rVert}{\lVert \mathbf{v}\rVert}=1.
Isso usa a propriedade da norma \lVert c\mathbf{v}\rVert=|c|\,\lVert\mathbf{v}\rVert para escalar por c=1/\lVert\mathbf{v}\rVert.

Passo 4

Exemplo prático em \mathbb{R}^2 (passo a passo para a prova). Seja \mathbf{v}=(3,4).
  1. Calcule a norma:
\lVert \mathbf{v}\rVert=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  1. Normalize:
\hat{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{v}}{\lVert \mathbf{v}\rVert}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
  1. Verifique a norma:
\lVert \hat{\mathbf{v}}\rVert=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1.
Isso mostra na prática como fazer na prova: calcule a norma e divida cada componente por ela.

Passo 5

Exemplo prático em \mathbb{R}^3. Seja \mathbf{v}=(1,2,2).
  1. Norma:
\lVert \mathbf{v}\rVert=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
  1. Normalização:
\hat{\mathbf{v}}=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).
  1. Confirmação:
\lVert \hat{\mathbf{v}}\rVert=\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2}=1.

Passo 6

Casos especiais e propriedades importantes para a prova:
  • O vetor nulo \mathbf{0} não tem vetor unitário associado: não dá para normalizar porque \lVert\mathbf{0}\rVert=0 e não se pode dividir por zero.
  • Vetores unitários mais comuns são os vetores da base canônica: \mathbf{i}=(1,0,0,\dots), \mathbf{j}=(0,1,0,\dots), \mathbf{k}=(0,0,1,\dots), todos têm norma 1.
  • Um conjunto de vetores é ortonormal se cada vetor é unitário e vetores distintos são ortogonais entre si. Isso é super útil em geometria e álgebra linear.
  • Um vetor unitário mantém a direção do vetor original; se você multiplicar um vetor unitário por um escalar a obtém um vetor com mesma direção (ou oposta, se a<0) e norma |a|.

Passo 7

Dicas práticas para a prova (passo-a-passo que você pode seguir):
  1. Se pedirem "o vetor unitário na direção de \mathbf{v}", primeiro verifique se \mathbf{v}\neq\mathbf{0}.
  2. Calcule \lVert \mathbf{v}\rVert usando a soma dos quadrados das componentes.
  3. Divida cada componente de \mathbf{v} por \lVert \mathbf{v}\rVert.
  4. Se aparecer raiz quadrada de número perfeito, simplifique — isso facilita verificar a norma igual a 1 sem calculadora.
  5. Use a notação \hat{\mathbf{v}} para indicar "vetor unitário em direção a \mathbf{v}".

Passo 8

Por fim, lembre-se: em provas a questão costuma pedir "encontre o vetor unitário na direção de \mathbf{v}". Aqui cabe sempre a mesma receita: norma, dividir, pronto. Você já tem a receita de bolo — respira, aplica e confere a norma no final. Força aí!

Resposta

Um vetor unitário é um vetor \mathbf{u} cuja norma é igual a 1, ou seja, \lVert \mathbf{u}\rVert=1.

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