Define o limite de uma função por epsilon e de e depois usando essa definição calcule o limite de uma função…

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para a gente definir o limite de uma função usando os conceitos de epsilon (épsilon) e de (delta). Depois, usando essa definição, calcular o limite de uma função específica. Vamos precisar entender o que cada um desses símbolos significa e como aplicá-los para resolver o problema.

Passo 2

Vamos começar definindo o que é o limite de uma função usando epsilon e de. Basicamente, queremos dizer que, para qualquer valor pequenininho que a gente escolha para epsilon, a diferença entre a função e o limite será menor que epsilon se a entrada da função estiver dentro de um intervalo de ao redor do ponto de interesse.
Formalmente, dizemos que:
limx to a f(x) = L
significa que para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que sempre que 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < epsilon.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para calcular o limite de uma função. Vamos usar como exemplo a função:
f(x) = 2x
e queremos calcular:
limx to 3 f(x)

Passo 4

Pelo olho, parece que quando x se aproxima de 3, f(x) = 2x se aproxima de 2 times 3 = 6. Mas vamos provar isso usando a definição de epsilon e de.

Passo 5

Queremos mostrar que para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que se 0 < |x - 3| < de, então |2x - 6| < epsilon.

Passo 6

Vamos manipular a desigualdade |2x - 6| < epsilon para encontrar uma relação com |x - 3|:
|2x - 6| = 2|x - 3| < epsilon
Dividindo ambos os lados por 2:
|x - 3| < epsilon2

Passo 7

Então, se escolhemos de, garantimos que sempre que 0 < |x - 3| < de, teremos |2x - 6| < epsilon.

Passo 8

Concluímos, portanto, que:
limx to 3 2x = 6
usando a definição de limite por epsilon e de.

Resposta

O limite de f(x) = 2x quando x se aproxima de 3 é igual a 6.

Exercícios relacionados