Define o limite de uma função por
e
e depois usando essa definição calcule o limite de uma função…
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para a gente definir o limite de uma função usando os conceitos de
(épsilon) e
(delta). Depois, usando essa definição, calcular o limite de uma função específica. Vamos precisar entender o que cada um desses símbolos significa e como aplicá-los para resolver o problema.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é o limite de uma função usando
e
. Basicamente, queremos dizer que, para qualquer valor pequenininho que a gente escolha para
, a diferença entre a função e o limite será menor que
se a entrada da função estiver dentro de um intervalo
ao redor do ponto de interesse.
Formalmente, dizemos que:
significa que para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para calcular o limite de uma função. Vamos usar como exemplo a função:
e queremos calcular:
Passo 4
Pelo olho, parece que quando
se aproxima de 3,
se aproxima de
. Mas vamos provar isso usando a definição de
e
.
Passo 5
Queremos mostrar que para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 6
Vamos manipular a desigualdade
para encontrar uma relação com
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 7
Então, se escolhemos
, garantimos que sempre que
, teremos
.
Passo 8
Concluímos, portanto, que:
usando a definição de limite por
e
.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 3 é igual a 6.