Determine o valor de k para que a matriz C=\left[\begin{array}{cc}1 & k \\\\ 2 & 4\end{array}\right] seja invertível. Para esse valor, calcule C^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz C e pede duas coisas:
  • Determinar o(s) valor(es) de k para que C seja invertível.
  • Para esse(s) valor(es), calcular C^{-1}.
A matriz fornecida é
C=\begin{pmatrix}1 & k\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): para uma matriz 2\times2 genérica
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(A)=ad-bc.
Uma matriz quadrada é invertível exatamente quando o seu determinante é diferente de zero:
A\\ \text{invertível} \iff \det(A)\neq0.í]

Passo 3

Aplicando essa definição à matriz C, identificamos a=1, b=k, c=2, d=4. Calculamos o determinante:
\det\text{(C)}=1\cdot 4 - k\cdot 2 = 4-2k.

Passo 4

A condição de invertibilidade é \det\text{(C)}\neq0. Então:
4-2k\neq0 \quad\Longrightarrow\quad k\neq2.
Portanto C é invertível para todo k real diferente de 2.

Passo 5

Fórmula prática para a inversa de uma matriz 2\times2: se \det(A)\neq0, então
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
onde a,b,c,d são os elementos de A como acima. Essa matriz dentro do parêntese é a adjunta (matriz dos cofatores transposta) para 2\times2.]

Passo 6

Substituindo os elementos de C e o determinante que já calculamos, obtemos:
C^{-1}=\dfrac{1}{4-2k}\begin{pmatrix}4 & -k\\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}, \qquad\text{válido para }k\neq2.á]

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo na prova): multiplicando C pela matriz acima (sem esquecer do fator \tfrac{1}{4-2k}) obtemos a identidade. O produto no numerador é
\begin{pmatrix}1 & k\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 & -k\\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4-2k & 0\\[4pt] 0 & 4-2k\end{pmatrix},
e ao multiplicar pelo fator \tfrac{1}{4-2k} obtemos \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}. Logo a inversa está correta quando k\neq2.]

Resposta

k\neq2
C^{-1}=\dfrac{1}{4-2k}\begin{pmatrix}4 & -k\\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix},\quad k\neq2]

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