Como se define uma reta a partir de dois pontos distintos no espaço?

Passo 1

No enunciado temos dois pontos distintos P₁ e P₂ no espaço e o objetivo é definir a reta que passa por esses pontos. O conteúdo é geometria analítica em R³, usando vetores e equações paramétricas.

Passo 2

Em geometria analítica, definimos uma reta a partir de um ponto de passagem e de um vetor diretor. O vetor diretor indica a direção da reta e o ponto garante sua posição.

Passo 3

Dados os pontos P₁=(x₁,y₁,z₁) e P₂=(x₂,y₂,z₂), o vetor diretor é a diferença entre eles: v = P₂ – P₁ = (x₂–x₁, y₂–y₁, z₂–z₁).

Passo 4

A equação vetorial da reta é construída a partir de um ponto base (P₁) e do vetor diretor (v). Escrevemos

Passo 5

r(t) = (x1,y1,z1) + t,(x2-x1,;y2-y1,;z2-z1), tinR

Passo 6

Desmembrando em componentes, obtemos a forma paramétrica:

Passo 7

x = x1 + t,(x2-x1), y = y1 + t,(y2-y1), z = z1 + t,(z2-z1)

Passo 8

Quando todos os denominadores forem não nulos, podemos ainda escrever a forma simétrica da reta:

Passo 9

x - x1x2 - x1 = y - y1y2 - y1 = z - z1z2 - z1

Resposta

Dada P₁=(x₁,y₁,z₁) e P₂=(x₂,y₂,z₂), a reta que passa por eles é\
r(t) = (x1,y1,z1) + t,(x2-x1,;y2-y1,;z2-z1), tinR, \
ou equivalentemente, na forma simétrica,\
x - x1x2 - x1 = y - y1y2 - y1 = z - z1z2 - z1

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