Explique a diferença entre as formas vetorial, paramétrica e simétrica da equação de uma reta no espaço

Passo 1

O enunciado pede para explicar, de forma informal, as três representações (vetorial, paramétrica e simétrica) de uma reta no espaço e quais são as ideias e diferenças entre elas. Vamos usar conceitos de ponto de posição e vetor direção para montar cada forma.

Passo 2

Para chegar na forma vetorial, escolhemos um ponto “P₀” que pertence à reta e um vetor direção “v”. A reta é o conjunto de todos os pontos “P” que podem ser obtidos a partir de “P₀” somando um múltiplo de “v”. Em notação vetorial escrevemos:
r = r0 + t,v
Aqui r é o vetor posição genérico de um ponto na reta, r0 é o vetor posição do ponto P₀, v é o vetor direção e t é o parâmetro escalar.

Passo 3

A partir da forma vetorial podemos extrair a forma paramétrica separando as componentes. Se r0=(x0,y0,z0) e v=(a,b,c), então escrevemos coordenada a coordenada:
x = x0 + a,t,
y = y0 + b,t,
z = z0 + c,t
Cada equação mostra como x,y,z variam linearmente com o parâmetro t.

Passo 4

Para obter a forma simétrica, eliminamos o parâmetro t das três equações paramétricas. Supondo que a,b,c sejam todos diferentes de zero, isolamos t em cada:
t = x - x0a = y - y0b = z - z0c
Essa é a forma simétrica, que relaciona diretamente as coordenadas x,y,z sem expor t.

Passo 5

As três representações são equivalentes e descrevem a mesma reta. A forma vetorial é superútil quando você lida com operações de vetores; a paramétrica é prática para gerar pontos na reta; e a simétrica é conveniente quando você quer uma relação direta entre x,y,z antes de resolver sistemas ou testar se um ponto pertence à reta.

Resposta

A forma vetorial r=r0+tv destaca ponto e direção; a forma paramétrica separa as coordenadas em funções lineares de um parâmetro t; e a forma simétrica elimina t para relacionar diretamente (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c. Todas representam a mesma reta, só mudam o estilo de escrever.

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