Explique a diferença entre as formas vetorial, paramétrica e simétrica da equação de uma reta no espaço
Passo 1
O enunciado pede para explicar, de forma informal, as três representações (vetorial, paramétrica e simétrica) de uma reta no espaço e quais são as ideias e diferenças entre elas. Vamos usar conceitos de ponto de posição e vetor direção para montar cada forma.
Passo 2
Para chegar na forma vetorial, escolhemos um ponto “P₀” que pertence à reta e um vetor direção “v”. A reta é o conjunto de todos os pontos “P” que podem ser obtidos a partir de “P₀” somando um múltiplo de “v”. Em notação vetorial escrevemos:
Aqui
é o vetor posição genérico de um ponto na reta,
é o vetor posição do ponto
,
é o vetor direção e
é o parâmetro escalar.
Passo 3
A partir da forma vetorial podemos extrair a forma paramétrica separando as componentes. Se
e
, então escrevemos coordenada a coordenada:
Cada equação mostra como
variam linearmente com o parâmetro
.
Passo 4
Para obter a forma simétrica, eliminamos o parâmetro
das três equações paramétricas. Supondo que
sejam todos diferentes de zero, isolamos
em cada:
Essa é a forma simétrica, que relaciona diretamente as coordenadas
sem expor
.
Passo 5
As três representações são equivalentes e descrevem a mesma reta. A forma vetorial é superútil quando você lida com operações de vetores; a paramétrica é prática para gerar pontos na reta; e a simétrica é conveniente quando você quer uma relação direta entre
antes de resolver sistemas ou testar se um ponto pertence à reta.
Resposta
A forma vetorial
destaca ponto e direção; a forma paramétrica separa as coordenadas em funções lineares de um parâmetro
; e a forma simétrica elimina
para relacionar diretamente
. Todas representam a mesma reta, só mudam o estilo de escrever.