Questão 2. (0,2 ponto) Dada elipse
E: 16 x^2+64 x+9 y^2-18 y-71=0,
determine os seguintes elementos:
  • Comprimento dos eixos maior e menor;
  • Coordenadas dos vértices (nos eixos maior e menor);
  • Coordenadas dos focos.
  • Equação reduzida;

Passo 1

No enunciado temos a elipse 16x^2+64x+9y^2-18y-71=0. Vamos precisar completar quadrados para colocá-la na forma padrão, identificar o centro, os semi-eixos e daí extrair todos os dados pedidos.

Passo 2

Reescrevendo e completando quadrados:
16(x^2+4x)+9(y^2-2y)-71=0
Como x^2+4x=(x+2)^2-4 e y^2-2y=(y-1)^2-1, substituímos e simplificamos:
16(x+2)^2-64+9(y-1)^2-9-71=0
16(x+2)^2+9(y-1)^2=144
Dividindo por 144, obtemos a equação reduzida em forma canônica e o centro:
(x+2)^29+(y-1)^216=1
Centro: C(-2,1).

Passo 3

Da forma (x+2)^29+(y-1)^216=1 vemos que a^2=16 e b^2=9. Como a^2>b^2, o eixo maior é vertical. Então a=4, b=3, e os comprimentos dos eixos são:
Eixo maior: 2a=8
Eixo menor: 2b=6.

Passo 4

Os vértices no eixo maior (vertical) estão em (h,k,pm a)=(-2,1pm4), ou seja (-2,5) e (-2,-3).
Os vértices no eixo menor (horizontal) estão em (hpm b,k)=(-2pm3,1), que são (1,1) e (-5,1).

Passo 5

A distância focal satisfaz c^2=a^2-b^2=16-9=7, logo c=raiz7.
Os focos estão em (h,kpm c)=(-2,1pmraiz7), isto é (-2,1+raiz7) e (-2,1-raiz7).

Resposta

Comprimento do eixo maior: 8; comprimento do eixo menor: 6. Vértices do eixo maior: (-2,5) e (-2,-3); do eixo menor: (1,1) e (-5,1). Focos: (-2,1+\sqrt7) e (-2,1-\sqrt7). Equação reduzida: \frac{(x+2)2}{9}+\frac{(y-1)2}{16}=1.

Exercícios relacionados