Questão 2. (0,2 ponto) Dada elipse
determine os seguintes elementos:
- Comprimento dos eixos maior e menor;
- Coordenadas dos vértices (nos eixos maior e menor);
- Coordenadas dos focos.
- Equação reduzida;
Passo 1
No enunciado temos a elipse
. Vamos precisar completar quadrados para colocá-la na forma padrão, identificar o centro, os semi-eixos e daí extrair todos os dados pedidos.
Passo 2
Reescrevendo e completando quadrados:
Como
e
, substituímos e simplificamos:
Dividindo por 144, obtemos a equação reduzida em forma canônica e o centro:
Centro:
.
Passo 3
Da forma
vemos que
e
. Como
, o eixo maior é vertical. Então
,
, e os comprimentos dos eixos são:
Eixo maior:
Eixo menor: .
Eixo maior:
Eixo menor:
Passo 4
Os vértices no eixo maior (vertical) estão em
, ou seja
e
.
Os vértices no eixo menor (horizontal) estão em , que são
e
.
Os vértices no eixo menor (horizontal) estão em
Passo 5
A distância focal satisfaz
, logo
.
Os focos estão em , isto é
e
.
Os focos estão em
Resposta
Comprimento do eixo maior: 8; comprimento do eixo menor: 6. Vértices do eixo maior: (-2,5) e (-2,-3); do eixo menor: (1,1) e (-5,1). Focos: (-2,1+\sqrt7) e (-2,1-\sqrt7). Equação reduzida: \frac{(x+2)2}{9}+\frac{(y-1)2}{16}=1.