A função exponencial apresenta inúmeras aplicações, dentre elas podemos analisar a função Q que mede o nível de aprendizado no instante t. Essa função é definida por Q(t)=B-A e^{-K t}, com A, B e K constantes positivas. O gráfico dessa função é chamado curva de aprendizagem. Sobre essa função, analise as assertivas e assinale a alternativa que aponta as corretas.
l. Q é crescente em 0, \infty[\). II. O gráfico de \(Q\) apresenta uma assíntota vertical. III. \(Q\) apresenta um ponto de máximo local que depende do valor de A. IV. O ponto \((0, B-A)\) pertence ao gráfico de \(Q\) (A) Apenas I e II. (B) Apenas I e III. \text{(C)} Apenas II e III. (D) Apenas II e IV. (E) Apenas I e IV.

Passo 1

O enunciado nos dá a função Q que mede o nível de aprendizado no instante t:
Q(t)=B-A e^{-K t},
com A>0, B>0 e K>0. O domínio considerado no enunciado é [0,\infty[.
As perguntas do enunciado são: analisar se cada uma das seguintes assertivas é verdadeira ou falsa:
I. Q é crescente em [0,\infty[.
II. O gráfico de Q apresenta uma assíntota vertical.
III. Q apresenta um ponto de máximo local que depende do valor de A.
IV. O ponto (0,\,B-A) pertence ao gráfico de Q.

Passo 2

Vamos estudar monotonicidade (para responder a I). Para isso usamos a derivada: a derivada de uma função nos diz a taxa de variação instantânea; se Q'(t)>0 para todo t num intervalo, então Q é crescente nesse intervalo.
Calcule Q'(t). Derivando termo a termo:
Q'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(B-A e^{-K t}\bigr)= -A\cdot\frac{d}{dt}\bigl(e^{-K t}\bigr).
Como \dfrac{d}{dt}\bigl(e^{-K t}\bigr) = -K e^{-K t}, obtemos
Q'(t) = -A\bigl(-K e^{-K t}\bigr)=A K e^{-K t}.
Agora observe que A>0, K>0 e e^{-K t}>0 para todo t. Logo
Q'(t)>0\quad\text{para todo }t\in[0,\infty[.
Portanto Q é estritamente crescente em [0,\infty[. Conclusão: a assertiva I é verdadeira.

Passo 3

Agora a assertiva II (assíntota vertical). Primeiro: o que é assíntota vertical? Uma reta vertical x=a é assíntota vertical se a função tende a \pm\infty quando x se aproxima de a por algum lado — normalmente ocorre quando a função não está definida em a e explode ali.
No nosso caso Q(t)=B-A e^{-K t} está bem definida para todo t\in\mathbb{R} (e portanto para todo t\ge0). Não há nenhum ponto no qual a função deixe de existir ou tenda a infinito em uma aproximação finita de t. Assim, não existe assíntota vertical. Conclusão: a assertiva II é falsa.
Observação útil (não pedida, mas importante): há, sim, uma assíntota horizontal. Como t\to\infty, e^{-K t}\to0 e portanto
\lim_{t\to\infty}Q(t)=B.
Isto significa que a reta horizontal y=B é uma assíntota horizontal do gráfico.

Passo 4

Agora a assertiva III (ponto de máximo local que depende de A). Um ponto de máximo local ocorre onde a função atinge um valor maior que em pontos próximos; pelos critérios da derivada, pontos críticos são lugares onde Q'(t)=0 ou Q' não existe. Já vimos que
Q'(t)=A K e^{-K t}>0\quad\text{para todo }t,
ou seja, Q'(t) nunca é zero nem indefinida no domínio. Logo não há pontos críticos interiores e, em particular, não há ponto de máximo local (nem mínimo local) em [0,\infty[. Além disso, o comportamento limite mostra que Q(t) cresce e se aproxima de B por baixo (se A>0), de modo que o supremo da função no intervalo é B mas ele é alcançado só no limite t\to\infty, não em um ponto interior.
Portanto a assertiva III é falsa.

Passo 5

Finalmente, a assertiva IV (o ponto (0,\,B-A) pertence ao gráfico). Basta avaliar Q em t=0:
Q(0)=B-A e^{-K\cdot 0}=B-A e^{0}=B-A\cdot 1=B-A.
Assim o ponto (0,\,B-A) está mesmo no gráfico de Q. Conclusão: a assertiva IV é verdadeira.

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • I: verdadeira.
  • II: falsa.
  • III: falsa.
  • IV: verdadeira.
Portanto as assertivas corretas são I e IV, que corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E) Apenas I e IV.

Exercícios relacionados