A função exponencial apresenta inúmeras aplicações, dentre elas podemos analisar a função
que mede o nível de aprendizado no instante
. Essa função é definida por
, com
, B e
constantes positivas. O gráfico dessa função é chamado curva de aprendizagem. Sobre essa função, analise as assertivas e assinale a alternativa que aponta as corretas.
l.
é crescente em
Passo 1
O enunciado nos dá a função
que mede o nível de aprendizado no instante
:
com
,
e
. O domínio considerado no enunciado é
.
As perguntas do enunciado são: analisar se cada uma das seguintes assertivas é verdadeira ou falsa:
I. é crescente em
.
II. O gráfico de apresenta uma assíntota vertical.
III. apresenta um ponto de máximo local que depende do valor de
.
IV. O ponto pertence ao gráfico de
.
I.
II. O gráfico de
III.
IV. O ponto
Passo 2
Vamos estudar monotonicidade (para responder a I). Para isso usamos a derivada: a derivada de uma função nos diz a taxa de variação instantânea; se
para todo
num intervalo, então
é crescente nesse intervalo.
Calcule
. Derivando termo a termo:
Como
, obtemos
Agora observe que
,
e
para todo
. Logo
Portanto
é estritamente crescente em
. Conclusão: a assertiva I é verdadeira.
Passo 3
Agora a assertiva II (assíntota vertical). Primeiro: o que é assíntota vertical? Uma reta vertical
é assíntota vertical se a função tende a
quando
se aproxima de
por algum lado — normalmente ocorre quando a função não está definida em
e explode ali.
No nosso caso
está bem definida para todo
(e portanto para todo
). Não há nenhum ponto no qual a função deixe de existir ou tenda a infinito em uma aproximação finita de
. Assim, não existe assíntota vertical. Conclusão: a assertiva II é falsa.
Observação útil (não pedida, mas importante): há, sim, uma assíntota horizontal. Como
,
e portanto
Isto significa que a reta horizontal
é uma assíntota horizontal do gráfico.
Passo 4
Agora a assertiva III (ponto de máximo local que depende de
). Um ponto de máximo local ocorre onde a função atinge um valor maior que em pontos próximos; pelos critérios da derivada, pontos críticos são lugares onde
ou
não existe. Já vimos que
ou seja,
nunca é zero nem indefinida no domínio. Logo não há pontos críticos interiores e, em particular, não há ponto de máximo local (nem mínimo local) em
. Além disso, o comportamento limite mostra que
cresce e se aproxima de
por baixo (se
), de modo que o supremo da função no intervalo é
mas ele é alcançado só no limite
, não em um ponto interior.
Portanto a assertiva III é falsa.
Passo 5
Finalmente, a assertiva IV (o ponto
pertence ao gráfico). Basta avaliar
em
:
Assim o ponto
está mesmo no gráfico de
. Conclusão: a assertiva IV é verdadeira.
Passo 6
Resumo das conclusões:
- I: verdadeira.
- II: falsa.
- III: falsa.
- IV: verdadeira.
Portanto as assertivas corretas são I e IV, que corresponde à alternativa (E).
Resposta
(E) Apenas I e IV.