Definição: Dizemos que uma matriz quadrada de ordem
é triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, para todo
, temos
. De forma análoga, dei-se que
é triangular inferior quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, para todo
, temos
.
Se
é uma matriz triangular superior, de que tipo é
?
Se
Passo 1
O enunciado define uma matriz quadrada de ordem
,
, e diz que ela é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal são zero, isto é, para todo
,
. De forma análoga, ela é triangular inferior se para todo
,
. A questão pergunta: se
é triangular superior, que tipo de matriz é a sua transposta
? Vamos usar a definição de transposta para responder.
Passo 2
Lembrando a definição de matriz transposta: o elemento na linha
e coluna
de
é
Ou seja, para formar
trocamos linhas por colunas.
Passo 3
Como
é triangular superior, sabemos que
Em particular, sempre que o índice da linha for maior que o da coluna, o elemento de
vale zero.
Passo 4
Para verificar o tipo de
, observe um elemento acima da diagonal de
, ou seja, um par
com
. Nesse caso
e como
implica
, pela triangularidade superior de
temos
. Logo todos os elementos de
para
são zero, o que é exatamente a condição de triangular inferior.
Resposta
A transposta
de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior.