Definição: Dizemos que uma matriz quadrada de ordem n A=(ai j) é triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, para todo i>j, temos ai j=0. De forma análoga, dei-se que A é triangular inferior quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, para todo i<j, temos ai j=0.
Se A é uma matriz triangular superior, de que tipo é A^t?

Passo 1

O enunciado define uma matriz quadrada de ordem n, A=(aij), e diz que ela é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal são zero, isto é, para todo i>j, aij=0. De forma análoga, ela é triangular inferior se para todo i<j, aij=0. A questão pergunta: se A é triangular superior, que tipo de matriz é a sua transposta A^t? Vamos usar a definição de transposta para responder.

Passo 2

Lembrando a definição de matriz transposta: o elemento na linha i e coluna j de A^t é
(A^t)ij = aji
Ou seja, para formar A^t trocamos linhas por colunas.

Passo 3

Como A é triangular superior, sabemos que
se i>j, então aij=0 ã
Em particular, sempre que o índice da linha for maior que o da coluna, o elemento de A vale zero.

Passo 4

Para verificar o tipo de A^t, observe um elemento acima da diagonal de A^t, ou seja, um par (i,j) com i<j. Nesse caso
(A^t)ij = aji,
e como i<j implica j>i, pela triangularidade superior de A temos aji=0. Logo todos os elementos de A^t para i<j são zero, o que é exatamente a condição de triangular inferior.

Resposta

A transposta A^t de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior.

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