Definição: Dizemos que uma matriz é simétrica se e que é antissimétrica se .
Cite exemplos de matrizes, não nulas, simétricas e antissimétricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar exemplos de matrizes que sejam simétricas e antissimétricas, mas que não sejam matrizes nulas (ou seja, que tenham pelo menos um elemento diferente de zero). Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e antissimétricas e como identificá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre matrizes simétricas. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Para uma matriz ser simétrica, os elementos devem satisfazer para todos os e .
Passo 3
Agora, vamos criar uma matriz simétrica não nula. Por exemplo, considere a matriz de ordem 2:
Vamos verificar se ela é simétrica:
Transposta de A é:
A^t = 2 & 3 3 & 5
Como A = A^t , essa é uma matriz simétrica não nula.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre matrizes antissimétricas. Uma matriz B é antissimétrica se ela for igual ao oposto da sua transposta, ou seja, B = -B^t . Isso implica que, para todas as entradas, bij = -bji . Além disso, os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica sempre serão zero, porque bii = -bii só é possível se bii = 0 .
Passo 5
Vamos criar uma matriz antissimétrica não nula. Por exemplo, considere a matriz B de ordem 2:
B = 0 & 4 -4 & 0
Vamos verificar se ela é antissimétrica:
Transposta de B é: