Definição: Dizemos que uma matriz A é simétrica se A=A^t e que é antissimétrica se A=-A^t.
Cite exemplos de matrizes, não nulas, simétricas e antissimétricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar exemplos de matrizes que sejam simétricas e antissimétricas, mas que não sejam matrizes nulas (ou seja, que tenham pelo menos um elemento diferente de zero). Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e antissimétricas e como identificá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre matrizes simétricas. Uma matriz A é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, A = A^t . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Para uma matriz ser simétrica, os elementos devem satisfazer aij = aji para todos os i e j .

Passo 3

Agora, vamos criar uma matriz simétrica não nula. Por exemplo, considere a matriz A de ordem 2:
A = 2 & 3 3 & 5
Vamos verificar se ela é simétrica:
Transposta de A é:
A^t = 2 & 3 3 & 5
Como A = A^t , essa é uma matriz simétrica não nula.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre matrizes antissimétricas. Uma matriz B é antissimétrica se ela for igual ao oposto da sua transposta, ou seja, B = -B^t . Isso implica que, para todas as entradas, bij = -bji . Além disso, os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica sempre serão zero, porque bii = -bii só é possível se bii = 0 .

Passo 5

Vamos criar uma matriz antissimétrica não nula. Por exemplo, considere a matriz B de ordem 2:
B = 0 & 4 -4 & 0
Vamos verificar se ela é antissimétrica:
Transposta de B é:
B^t = 0 & -4 4 & 0
Agora, verificamos se B = -B^t :
-B^t = 0 & 4 -4 & 0 = B
Então, B é uma matriz antissimétrica não nula.

Resposta

Um exemplo de matriz simétrica não nula é:
A = 2 & 3 3 & 5
E um exemplo de matriz antissimétrica não nula é:
B = 0 & 4 -4 & 0

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