Definição: Dizemos que uma matriz quadrada de ordem
é triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, para todo
, temos
. De forma análoga, dei-se que
é triangular inferior quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, para todo
, temos
.
Se
é triangular superior e
é triangular inferior, o que ocorre com
?
Se
Passo 1
O enunciado define que
é triangular superior, ou seja
e que
é triangular inferior, ou seja
Queremos saber qual a forma de
.
Passo 2
Escrevemos a entrada genérica de
em termos de somatório:
Para cada termo
ser não nulo, precisamos ter simultaneamente
Logo somente
tais que
isto é
, podem contribuir na soma.
Passo 3
Como existem índices
de
até
para qualquer par
, em geral
pode ser não nulo tanto para
, quanto para
. Portanto não há garantia de zeros estritos nem abaixo nem acima da diagonal.
Passo 4
Concluímos que, mesmo vindo de uma triangular superior vezes uma triangular inferior, o produto
não conserva nenhum dos dois padrões de zeros. Em geral
será uma matriz “cheia” (densa), sem ser triangular superior nem triangular inferior.
Resposta
Em geral
não é nem triangular superior nem triangular inferior; o produto pode ser uma matriz completamente cheia.