Definição: Dizemos que uma matriz quadrada de ordem n A=(ai j) é triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, para todo i>j, temos ai j=0. De forma análoga, dei-se que A é triangular inferior quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, para todo i<j, temos ai j=0.
Se A é triangular superior e B é triangular inferior, o que ocorre com A B?

Passo 1

O enunciado define que A=(aij) é triangular superior, ou seja
aij=0sempre que i>j,
e que B=(bij) é triangular inferior, ou seja
bij=0sempre que i<j
Queremos saber qual a forma de C=AB.

Passo 2

Escrevemos a entrada genérica de C=AB em termos de somatório:
cij=(AB)ij=sumk=1^naik,bkj
Para cada termo aikbkj ser não nulo, precisamos ter simultaneamente
aikneq0implies i<= k e bkjneq0implies k>= j
Logo somente k tais que
k>= i e k>= j,
isto é k>=max(i,j), podem contribuir na soma.

Passo 3

Como existem índices k de max(i,j) até n para qualquer par (i,j), em geral
cij=sumk=max(i,j)^naik,bkj
pode ser não nulo tanto para i<j, quanto para i>j. Portanto não há garantia de zeros estritos nem abaixo nem acima da diagonal.

Passo 4

Concluímos que, mesmo vindo de uma triangular superior vezes uma triangular inferior, o produto AB não conserva nenhum dos dois padrões de zeros. Em geral AB será uma matriz “cheia” (densa), sem ser triangular superior nem triangular inferior.

Resposta

Em geral AB não é nem triangular superior nem triangular inferior; o produto pode ser uma matriz completamente cheia.

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