Definição: Dizemos que uma matriz quadrada de ordem n A=(ai j) é triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, para todo i>j, temos ai j=0. De forma análoga, dei-se que A é triangular inferior quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, para todo i<j, temos ai j=0.
Se A e B são matrizes triangulares inferiores, de que tipo será A+B e A B?

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas de ordem n e triangulares inferiores, isto é, para todo i<j vale
aij=0 e bij=0
Pergunta-se que tipo de matriz é A+B e que tipo é Acdot B. Vamos usar a ideia de fecharidade das matrizes triangulares inferiores sob soma e produto.

Passo 2

Analisando a soma: o elemento genérico de índice (i,j) de A+B é
(A+B)ij=aij+bij
Se i<j, então aij=0 e bij=0 pela hipótese. Portanto
(A+B)ij=0+0=0,
o que mostra que A+B também é triangular inferior.

Passo 3

Analisando o produto: o elemento genérico de índice (i,j) de Acdot B é
(AB)ij=sumk=1^naik,bkj
Quando i<j, em cada termo da soma temos duas possibilidades:
  • se k<= i<j, então k<j e assim bkj=0;
  • se k>i, então i<k e assim aik=0.
    Em ambos os casos cada termo aikbkj é zero, logo a soma inteira vale zero. Assim, AB é triangular inferior.

Resposta

A+B e Acdot B são matrizes triangulares inferiores.

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