Definição: Dizemos que uma matriz quadrada de ordem
é triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, para todo
, temos
. De forma análoga, dei-se que
é triangular inferior quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, para todo
, temos
.
Se
e
são matrizes triangulares inferiores, de que tipo será
e
?
Se
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes quadradas de ordem
e triangulares inferiores, isto é, para todo
vale
Pergunta-se que tipo de matriz é
e que tipo é
. Vamos usar a ideia de fecharidade das matrizes triangulares inferiores sob soma e produto.
Passo 2
Analisando a soma: o elemento genérico de índice
de
é
Se
, então
e
pela hipótese. Portanto
o que mostra que
também é triangular inferior.
Passo 3
Analisando o produto: o elemento genérico de índice
de
é
Quando
, em cada termo da soma temos duas possibilidades:
- se
, então e assim ; - se
, então e assim .
Em ambos os casos cada termoé zero, logo a soma inteira vale zero. Assim, é triangular inferior.