Definição: Dizemos que uma matriz quadrada de ordem n A=(ai j) é triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, para todo i>j, temos ai j=0. De forma análoga, dei-se que A é triangular inferior quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, para todo i<j, temos ai j=0.
Se A é uma matriz triangular superior, de que tipo é A^2?

Passo 1

O enunciado diz que A=(aij) é uma matriz quadrada de ordem n e triangular superior, isto é,
para todo i>j vale aij=0. Queremos determinar a “classe” de A^2. Vamos usar a definição de produto de matrizes e verificar quais entradas de A^2 ficam zero abaixo da diagonal principal.

Passo 2

Pela definição de produto de matrizes, o elemento (i,j) de A^2 é
(A^2)ij ;=; sumk=1^n aik,akj,

Passo 3

Considere i>j. No somatório acima, cada termo aik,akj vai ser zero pois:
  • Se k<= j, então i>j>= k implica i>k, logo aik=0 (pois A é triangular superior).
  • Se k>j, então k>j implica akj=0 (de novo pelo fato de A ser triangular superior).
    Em ambos os casos cada produto aikakj é zero, logo
(A^2)ij=0sempre que i>j

Resposta

A^2 é também uma matriz triangular superior.

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