Seja A=(cccc1 & 1 & 1 & 1 a & b & c & d a^2 & b^2 & c^2 & d^2 a^3 & b^3 & c^3 & d^3). Mostre que det(A)=(d-a) (d-b) (d-c) (c-a) (c-b) (b-a).

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz
A = 1 & 1 & 1 & 1 [-6pt] a & b & c & d [-3pt] a^2 & b^2 & c^2 & d^2 [-3pt] a^3 & b^3 & c^3 & d^3
e pede para mostrar que
det(A) = (d - a),(d - b),(d - c),(c - a),(c - b),(b - a)
O conteúdo é o determinante de Vandermonde em quatro pontos a,b,c,d. Vamos usar propriedades de determinantes (colinearidade de colunas, raízes do polinômio e expansão por cofatores) para chegar ao resultado.]

Passo 2

Chame f(d)=det(A) visto como polinômio em d, com a,b,c fixos. Se d=a, a 4.ª coluna de A fica igual à 2.ª coluna, logo det(A)=0. Analogamente, f(b)=0 e f(c)=0. Assim
f(d) é divisível por (d-a)(d-b)(d-c) éí

Passo 3

Cada elemento da 4.ª coluna é uma potência de d de grau até 3, logo f(d) é um polinômio de grau <=3. Como já tem três raízes distintas a,b,c, segue
f(d)=k,(d-a)(d-b)(d-c)
para algum coeficiente constante k que depende só de a,b,c.

Passo 4

Para achar k, expandimos f(d) pela 4.ª coluna por cofatores. O termo de maior grau em d vem do elemento da 4.ª coluna na 4.ª linha, que é d^3, multiplicado pelo cofator correspondente. Assim o coeficiente de d^3 em f(d) é
det 1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2 ,
que é justamente o determinante de Vandermonde em a,b,c. Logo
k = (b - a),(c - a),(c - b)
Substituindo em f(d)=k,(d-a)(d-b)(d-c) obtemos
det(A) = (b - a),(c - a),(c - b),(d - a),(d - b),(d - c)
Como o produto é comutativo, isso equivale exatamente a
(d - a),(d - b),(d - c),(c - a),(c - b),(b - a)

Resposta

det(A) = (d - a),(d - b),(d - c),(c - a),(c - b),(b - a)

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