O conteúdo é o determinante de Vandermonde em quatro pontos a,b,c,d. Vamos usar propriedades de determinantes (colinearidade de colunas, raízes do polinômio e expansão por cofatores) para chegar ao resultado.]
Passo 2
Chame f(d)=det(A) visto como polinômio em d, com a,b,c fixos. Se d=a, a 4.ª coluna de A fica igual à 2.ª coluna, logo det(A)=0. Analogamente, f(b)=0 e f(c)=0. Assim
f(d) é divisível por (d-a)(d-b)(d-c) éí
Passo 3
Cada elemento da 4.ª coluna é uma potência de d de grau até 3, logo f(d) é um polinômio de grau <=3. Como já tem três raízes distintas a,b,c, segue
f(d)=k,(d-a)(d-b)(d-c)
para algum coeficiente constante k que depende só de a,b,c.
Passo 4
Para achar k, expandimos f(d) pela 4.ª coluna por cofatores. O termo de maior grau em d vem do elemento da 4.ª coluna na 4.ª linha, que é d^3, multiplicado pelo cofator correspondente. Assim o coeficiente de d^3 em f(d) é
det 1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2 ,
que é justamente o determinante de Vandermonde em a,b,c. Logo