Definição 0.1. Dizemos que o sistema de equações lineares A x=b é homogêneo quando o vetor b dos termos independentes é o vetor nulo. Ou seja, o termo independente de cada equação linear do sistema é igual a zero.
Definição 0.2. Dado um sistema de equações lineares não homogêneo A x=b, dizemos que o sistema de equaçôes lineares homogêneo a ele associado é A x=0 (isto é, substituimos o vetor dos termos independentes b neq 0 pelo vetor nulo e mantemos os coeficientes do sistema).
Justifique as seguintes afirmações.
i) Todo sistema de equações lineares homogêneo é compatível.

Passo 1

O enunciado pede para justificar que todo sistema homogêneo A x=0 é compatível. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares e compatibilidade, e para provar compatibilidade basta mostrar que existe ao menos uma solução para A x=0.

Passo 2

Note que, escolhendo o vetor x=0 (o vetor nulo), temos
A0=0
Logo, x=0 satisfaz o sistema A x=0, de modo que existe solução.

Resposta

Todo sistema homogêneo admite a solução trivial x=0 e, portanto, é compatível.

Exercícios relacionados