Definição 0.1. Dizemos que o sistema de equações lineares
é homogêneo quando o vetor
dos termos independentes é o vetor nulo. Ou seja, o termo independente de cada equação linear do sistema é igual a zero.
Definição 0.2. Dado um sistema de equações lineares não homogêneo
, dizemos que o sistema de equaçôes lineares homogêneo a ele associado é
(isto é, substituimos o vetor dos termos independentes
pelo vetor nulo e mantemos os coeficientes do sistema).
Justifique as seguintes afirmações.
i) Todo sistema de equações lineares homogêneo é compatível.
Definição 0.2. Dado um sistema de equações lineares não homogêneo
Justifique as seguintes afirmações.
i) Todo sistema de equações lineares homogêneo é compatível.
Passo 1
O enunciado pede para justificar que todo sistema homogêneo
é compatível. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares e compatibilidade, e para provar compatibilidade basta mostrar que existe ao menos uma solução para
.
Passo 2
Note que, escolhendo o vetor
(o vetor nulo), temos
Logo,
satisfaz o sistema
, de modo que existe solução.
Resposta
Todo sistema homogêneo admite a solução trivial
e, portanto, é compatível.