Definição 0.1. Dizemos que o sistema de equações lineares A x=b é homogêneo quando o vetor b dos termos independentes é o vetor nulo. Ou seja, o termo independente de cada equação linear do sistema é igual a zero.
Definição 0.2. Dado um sistema de equações lineares não homogêneo A x=b, dizemos que o sistema de equaçôes lineares homogêneo a ele associado é A x=0 (isto é, substituimos o vetor dos termos independentes b neq 0 pelo vetor nulo e mantemos os coeficientes do sistema).
Justifique as seguintes afirmações.
ii) Sejam S o conjunto de soluções de um sistema de equações lineares não homogêneo A x=b compatível, x0 in S uma solução particular qualquer e tildeS=x mid A x=0 o conjunto de soluções do sistema homogêneo associado. Então, vale a seguinte relação
S=x0+tildeS=x0+x mid x in tildeS

Passo 1

O enunciado trata de um sistema linear não homogêneo A x = b compatível, cujo conjunto de soluções é
S = ,xmid A x = b
Escolhemos uma solução particular qualquer ,x0in S e definimos o conjunto de soluções do sistema homogêneo associado
tildeS = ,xmid A x = 0
Queremos mostrar que
S ;=; x0 + tildeS ;=;,x0+xmid xintildeS

Passo 2

Prova da inclusão Ssubseteq x0+tildeS. Seja xin S. Então A x=b e, como x0 é solução particular, A x0=b. Daí
Al(x - x0r) = A x ;-; A x0 = b ;-; b = 0,
logo x - x0intildeS. Isso mostra que
x = x0 + l(x - x0r)
é um elemento de x0+tildeS. Portanto Ssubseteq x0+tildeS.

Passo 3

Prova da inclusão x0+tildeSsubseteq S. Seja yin x0+tildeS. Então existem xintildeS tais que y = x0+x. Como A x0=b e A x=0, segue
A y = Al(x0+xr) = A x0 + A x = b + 0 = b,
ou seja, yin S. Assim x0+tildeSsubseteq S.

Resposta

S ;=; x0 + tildeS

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