Definição 0.1. Dizemos que o sistema de equações lineares
é homogêneo quando o vetor
dos termos independentes é o vetor nulo. Ou seja, o termo independente de cada equação linear do sistema é igual a zero.
Definição 0.2. Dado um sistema de equações lineares não homogêneo
, dizemos que o sistema de equaçôes lineares homogêneo a ele associado é
(isto é, substituimos o vetor dos termos independentes
pelo vetor nulo e mantemos os coeficientes do sistema).
Justifique as seguintes afirmações.
ii) Sejam
o conjunto de soluções de um sistema de equações lineares não homogêneo
compatível,
uma solução particular qualquer e
o conjunto de soluções do sistema homogêneo associado. Então, vale a seguinte relação
Definição 0.2. Dado um sistema de equações lineares não homogêneo
Justifique as seguintes afirmações.
ii) Sejam
Passo 1
O enunciado trata de um sistema linear não homogêneo
compatível, cujo conjunto de soluções é
Escolhemos uma solução particular qualquer
e definimos o conjunto de soluções do sistema homogêneo associado
Queremos mostrar que
Passo 2
Prova da inclusão
. Seja
. Então
e, como
é solução particular,
. Daí
logo
. Isso mostra que
é um elemento de
. Portanto
.
Passo 3
Prova da inclusão
. Seja
. Então existem
tais que
. Como
e
, segue
ou seja,
. Assim
.