Determine a projeção ortogonal do vetor
sobre o subespaço de
gerado por
.
Passo 1
O enunciado pede a projeção ortogonal de
sobre o subespaço
gerado por
O conteúdo aqui é projeção em subespaço gerado por vetores possivelmente não ortonormais, então vamos usar a fórmula
onde
é a matriz cujas colunas são
e
.
Passo 2
Formamos a matriz
e calculamos a matriz de Gram
. Como
temos
]
Passo 3
O vetor de projeção pode também ser escrito como combinação linear
em que
. Primeiro calculamos os produtos escalares
Passo 4
Como
é diagonal, seu inverso é
Logo
]
Passo 5
Agora montamos a projeção:
Calculando componente a componente,
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre o subespaço gerado por
é