Determine a projeção ortogonal do vetor u= (2 ;-1 ; 3) sobre o subespaço de R^3 gerado por S=(1 ; 0 ; 1) ;(2 ; 1 ;-2).

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de u=(2,-1,3) sobre o subespaço WsubsetR^3 gerado por
S=,v1=(1,0,1),;v2=(2,1,-2)
O conteúdo aqui é projeção em subespaço gerado por vetores possivelmente não ortonormais, então vamos usar a fórmula
projW(u) = A,(A^T A)^-1A^Tu,
onde A é a matriz cujas colunas são v1 e v2.

Passo 2

Formamos a matriz A=v1;v2 e calculamos a matriz de Gram G = A^T A. Como
v1cdotv1 = 1^2+0^2+1^2 =2, v1cdotv2 = 1cdot2+0cdot1+1cdot(-2)=0,
v2cdotv2 = 2^2+1^2+(-2)^2 =9,
temos
G = A^T A = 2 & 0 [6pt] 0 & 9
]

Passo 3

O vetor de projeção pode também ser escrito como combinação linear
projW(u) = c1,v1 + c2,v2,
em que (c1,c2)^T = G^-1A^Tu. Primeiro calculamos os produtos escalares
ucdotv1 = 2cdot1 + (-1)cdot0 + 3cdot1 = 5, ucdotv2 = 2cdot2 + (-1)cdot1 + 3cdot(-2) = -3

Passo 4

Como G é diagonal, seu inverso é
G^-1 = 12 & 0 [4pt] 0 & 19
Logo
c1 = ucdotv12 = 52, c2 = ucdotv29 = -39 = -13
]

Passo 5

Agora montamos a projeção:
projW(u) = 52(1,0,1) ;+; l(-13r)(2,1,-2)
Calculando componente a componente,
projW(u) = l(,tfrac52-tfrac23,; 0-tfrac13,; tfrac52+tfrac23r) = l(tfrac116,,-tfrac13,,tfrac196r)

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre o subespaço gerado por S é
l(tfrac116,,-tfrac13,,tfrac196r)

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