Seja
Podemos definir diversas operações
e . :
em
Nos exemplos abaixo diga por que as operações definidas em cada item não fazem de
um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define em
a soma usual
e a multiplicação por escalar “anômala”
Como queremos verificar se
com essas operações é um espaço vetorial, precisamos checar todos os axiomas, em especial os que envolvem a multiplicação por escalares:
Passo 2
Teste do axioma
. Seja
. Então
mas o vetor zero em
é
. Logo, salvo o caso
, temos
violando o axioma que exige
para todo
.
Passo 3
Teste do axioma
. Seja de novo
. Então
enquanto
Em geral
, logo
violando a distributividade de escalares sobre vetores.
Resposta
As operações falham como espaço vetorial porque a multiplicação por escalar não satisfaz, por exemplo,
-
e -
.