Seja V=R^2=(x, y) mid x, y in R Podemos definir diversas operações +: R^2 times R^2 R^2 e . : R times R^2 R^2 em V Nos exemplos abaixo diga por que as operações definidas em cada item não fazem de R^2 um espaço vetorial.
(x1, y1)+(x2, y2) & =(x1+x2, y1+y2)
lambda(x, y)=(lambda x, y)

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 a soma usual
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2)
e a multiplicação por escalar “anômala”
lambda,(x,y)=(lambda x,;y)
Como queremos verificar se R^2 com essas operações é um espaço vetorial, precisamos checar todos os axiomas, em especial os que envolvem a multiplicação por escalares:
  1. 0Rcdot v = 0V
  2. (lambda+mu)v = lambda v + mu v
  3. lambda(v+w)=lambda v+lambda w
  4. (lambdamu)v=lambda(mu v)
  5. 1cdot v = v

Passo 2

Teste do axioma 0Rcdot v = 0V. Seja v=(x,y). Então
0cdot(x,y)=(0cdot x,;y)=(0,;y),
mas o vetor zero em V é (0,0). Logo, salvo o caso y=0, temos
0cdot(x,y)neq(0,0),
violando o axioma que exige 0Rcdot v = 0V para todo v.

Passo 3

Teste do axioma (lambda+mu)v = lambda v + mu v. Seja de novo v=(x,y). Então
(lambda+mu)(x,y)=l((lambda+mu)x,;yr)=(lambda x+mu x,;y),
enquanto
lambda(x,y)+mu(x,y)=(lambda x,;y)+(mu x,;y)=(lambda x+mu x,;y+y)=(lambda x+mu x,;2y)
Em geral yneq2y, logo
(lambda+mu)vneq lambda v+mu v,
violando a distributividade de escalares sobre vetores.

Resposta

As operações falham como espaço vetorial porque a multiplicação por escalar não satisfaz, por exemplo,
  1. 0Rcdot vneq0V e
  2. (lambda+mu)vneqlambda v+mu v.

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