Seja B=1, t, 2 t^2-1,4 t^3-3 t uma base no espaço vetorial P3[t]. Determinar as coordenadas do polinômio p(t)=t(t+1)(t-1),(p)B= ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: estamos em P3[t] com a base
B = ,1,;t,;2t^2-1,;4t^3-3t,
e queremos as coordenadas do polinômio
p(t)=t(t+1)(t-1)=t^3 - t
no sistema de referência B.

Passo 2

Vamos escrever p(t) como combinação linear dos vetores de B, ou seja, buscar a0,a1,a2,a3 tais que
p(t)=a0cdot1 ;+;a1cdot t;+;a2cdot(2t^2-1);+;a3cdot(4t^3-3t)

Passo 3

Expandindo essa soma em potências de t, obtemos
p(t) = a0 + a1,t + a2(2t^2-1) + a3(4t^3-3t) = (a0 - a2) + (a1 - 3a3),t + 2a2,t^2 + 4a3,t^3

Passo 4

Como queremos igualar isso a
p(t)=t^3 + 0cdot t^2 - t + 0,
comparamos coeficientes e formamos o sistema
4a3 = 1, 2a2 = 0, a1 - 3a3 = -1, a0 - a2 = 0
Daí segue
a3 = tfrac14, a2 = 0, a1 = -tfrac14, a0 = 0

Resposta

(p)B = l(0,,-tfrac14,,0,,tfrac14r)

Exercícios relacionados