Verifique se a equação dada é exata e em caso afirmativo, resolva-a.
(a) (2 x-1) d x+(3 y+7) d y=0;
(b) (sin y-y sin x) d x+(cos x+x cos y-y) d y=0;
© (2 y^2 x-3) d x+(2 y x^2+4) d y;
(d) (2 y-1x+cos 3 x) d yd x+yx^2-4 x^3+3 y sin 3 x=0;
(e) (x^3+y^3) d x+3 x y^2 d y=0;
(f) 2 xy d x-x^2y^2 d y=0;
(g) (y^3-y^2 sin x-x) d x+(3 x y^2+2 y cos x) d y=0;
(h) (x^3+y^3) d x+3 x y^2 d y=0;
(i) (x^2 y^3-11+9 x^2) d xd y+x^3 y^2.

Passo 1

O exercício apresenta nove ODEs no formato M(x,y)
dx + N(x,y)
dy = 0 e pede para verificar se cada uma é exata e, em caso afirmativo, resolver. Vamos usar teoria de equações diferenciais exatas, que envolve conferir igualdade entre $\partial M/\partial y$ e $\partial N/\partial x$ e, quando exata, encontrar função potencial $\phi(x,y)$ tal que $\phi_x=M$ e $\phi_y=N$. A solução geral é $\phi(x,y)=C$.

Passo 2

Método geral: dada $M(x,y),dx + N(x,y),dy=0$, calculamos $M_y=\partial M/\partial y$ e $N_x=\partial N/\partial x$. Se $M_y=N_x$, integra-se $M$ em relação a $x$: $\phi(x,y)=\int M,dx + h(y)$. Então derivamos $\phi$ em relação a $y$ e igualamos a $N$ para achar $h(y)$.

Passo 3

(a) M=2x−1, N=3y+7. Temos $M_y=0$ e $N_x=0$, logo exata. Integramos: $\phi=\int(2x−1)dx = x^2−x + h(y)$. Como $\phi_y = h’(y)=3y+7$, $h(y)=\tfrac32y^2+7y$. Solução: $x2−x+\tfrac32y2+7y=C$.

Passo 4

(b) M=sin
y−y
sin
x, N=cos
x+x
cos
y−y. Calculamos $M_y=cos
y−sin
x$ e $N_x=−sin
x+cos
y$, iguais, logo exata. Integramos: $\phi=\int(sin
y−y
sin
x)dx = x
sin
y + y
cos
x + h(y)$. Derivando: $\phi_y = x
cos
y + cos
x + h’(y)=N$ leva a $h’(y)=−y$, logo $h(y)=−y^2/2$. Solução: $x
sin
y + y
cos
x − y^2/2 = C$.

Passo 5

© M=2xy^2−3, N=2x^2y+4. Aqui $M_y=4xy$ e $N_x=4xy$, exata. Integramos: $\phi=\int(2xy^2−3)dx = x2y2−3x + h(y)$. Como $\phi_y=2x^2y + h’(y)=N$, vem $h’(y)=4$, $h(y)=4y$. Solução: $x2y2−3x+4y=C$.

Passo 6

(d) Escrevendo em M
dx+N
dy=0, temos M=y/x2−4x3+3y
sin
3x e N=2y−1/x+cos
3x. Calculou-se $M_y=1/x^2+3
sin
3x$ e $N_x=1/x^2−3
sin
3x$, não são iguais, logo não exata.

Passo 7

(e) M=x3+y3, N=3xy^2. $M_y=3y^2$ e $N_x=3y^2$, exata. Integramos: $\phi=\int(x3+y3)dx = x^4/4 + x
y^3 + h(y)$. Como $\phi_y=3x
y^2 + h’(y)=N$, segue $h’(y)=0$. Solução: $x^4/4 + x
y^3 = C$.

Passo 8

(f) M=2x/y, N=−x2/y2. Computamos $M_y=−2x/y^2$ e $N_x=−2x/y^2$, exata. Integramos: $\phi=\int2x/y
dx = x^2/y + h(y)$. Da comparação $\phi_y=−x2/y2 + h’(y)=N$ vem $h’(y)=0$. Solução: $x^2/y = C$.

Passo 9

(g) M=y3−y2
sin
x−x, N=3xy^2+2y
cos
x. Aqui $M_y=3y^2−2y
sin
x$ e $N_x=3y^2$, não coincidem, logo não exata.

Passo 10

(h) Esta equação é idêntica à do item (e), portanto exata e a solução é a mesma: $x^4/4 + x
y^3 = C$.

Passo 11

(i) Reescrevendo como M
dx+N
dy=0 com M=x2y3 − 1/(1+9x^2) e N=x3y2, temos $M_y=3x2y2$ e $N_x=3x2y2$, exata. Integramos: My=3x^2y^2. Como $\phi_y= x3y2 + h’(y)=N$, segue $h’(y)=0$. Solução: $x3y3/3 − (1/3)\arctan(3x) = C$.

Resposta

(a) x^2 - x + tfrac32y^2 + 7y = C;
(b) xsin y + ycos x - tfracy^22 = C;
© x^2y^2 - 3x + 4y = C;
(d) não é exata;
(e) tfracx^44 + x y^3 = C;
(f) tfracx^2y = C;
(g) não é exata;
(h) tfracx^44 + x y^3 = C;
(i) tfracx^3y^33 - tfrac13arctan(3x) = C.

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