6.1 Definição de Espaço Vetorial

Começaremos definindo as principais entidades que constituem um espaço vetorial.

Corpo, vetor e espaço vetorial

Um corpo é um conjunto não vazio, C, dotado de duas operações, a soma e o produto, e denotadas respectivamente por: +e cdot, que satisfazem às seguintes propriedades ( alpha, beta, gamma in C):
  1. Comutatividade na soma: alpha+beta=beta+alpha
  2. Associatividade na soma: alpha+(beta+gamma)=(alpha+beta)+gamma
  3. Elemento neutro na soma alpha+0=alpha
  4. Elemento inverso na soma (-alpha): alpha+(-alpha)=0
  5. Comutatividade no produto: alpha cdot beta=beta cdot alpha
  6. Associatividade no produto: alpha cdot(beta cdot gamma)=(alpha cdot beta) cdot gamma
  7. Elemento neutro no produto (ll): alpha cdot I=alpha
  8. Elemento inverso no produto ( alpha^-1 ): alpha cdot alpha^-1=1
Exemplos de corpos são o conjunto dos números reais (R) e dos números complexos ( C ).
Um espaço vetorial V sobre um corpo C é um conjunto de elementos chamados vetores, v, e dotado de operações de soma e produto por escalar (um elemento do corpo), levando dois elementos de V sempre a um terceiro elemento de V (propriedade de fechamento), satisfazendo as propriedades de (1) a (4) descritas anteriormente para a soma. Além disso, o produto por escalar deve satisfazer ( alpha, beta in C ; u, v in V ):
  1. Associatividade no produto por escalar: alpha cdot(beta cdot u)=(alpha cdot beta) cdot u
  2. 1 cdot u=u, onde 1 é o elemento neutro no produto em C
  3. Propriedade distributiva: alpha cdot(u+v)=alpha cdot u+alpha cdot v
  4. Propriedade distributiva: (alpha+beta) cdot u=alpha cdot u+beta cdot u
A seguir listamos alguns exemplos de espaços vetoriais:
  • Vetores no plano
V=R^2=(x, y) mid x, y in R
Nesse caso, as operações de adição e produto por escalar ( alpha in R ) são definidas, respectivamente, como:
r (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) alpha(x1, y1)=(alpha x1, alpha y1)
Exercício II.4: Prove que o espaço vetorial descrito anteriormente satisfaz todas as propriedades de espaço vetorial.
Exercício II.5: Prove que o conjunto R^n, com n in N é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais de soma e produto por escalar.
  • Matrizes:
Considere o conjunto das matrizes reais de ordem m times n, Mm times n(R) e um elemento A deste conjunto,
A=[cccc a11 & a12 & cdots & a1 n a21 & a22 & cdots & a2 n vdots & vdots & ddots & vdots am 1 & am 2 & cdots & am n ]
Assumindo a soma de matrizes e o produto de matrizes por um número real, então Mm times n(R) é um espaço vetorial sobre os reais.
Exercício II.6: Prove que o espaço vetorial descrito anteriormente satisfaz todas as propriedades de espaço vetorial.
Exercício II.7: Prove que o conjunto de todos os polinômios de grau <= n
Pn=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n, ai in R
é um espaço vetorial sobre os reais.

Passo 1

O enunciado pede para provar que os conjuntos
R^2, R^n, Mmtimes n(R) e
Pn = a0 + a1 x + cdots + an x^n mid ai in R
com as operações usuais de soma e produto por escalar formam espaços vetoriais sobre R.
Para isso vamos usar a definição de espaço vetorial (fechamento, comutatividade e associatividade da soma, existência de zero e inverso, e as quatro propriedades do produto por escalar) e mostrar que, em cada caso, as operações são definidas “componente a componente”, herdam as propriedades do corpo R e portanto satisfazem todos os axiomas.

Passo 2

Verificação para R^2, soma definida por
,(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2).
1. Fechamento: x1+x2 e y1+y2 pertencem a R, logo (x1+x2,y1+y2)inR^2.
2. Comutatividade e associatividade da soma em R^2 seguem de
,x1+x2=x2+x1 e (x1+x2)+x3=x1+(x2+x3) em R, aplicada a cada componente.
3. O elemento neutro é (0,0) porque (x,y)+(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y).
4. O inverso de (x,y) é (-x,-y) pois (x,y)+(-x,-y)=(0,0).

Passo 3

Ainda em R^2, produto por escalar definido por
alpha,(x,y)=(alpha x,alpha y).
1. Fechamento: alpha x,alpha yinR Rightarrow (alpha x,alpha y)inR^2.
2. Associatividade no produto por escalar:
alphal(beta(x,y)r) =alpha(beta x,beta y) =(alphabeta,x,alphabeta,y) =(alphabeta)(x,y)
3. Elemento neutro:
1cdot(x,y)=(1cdot x,1cdot y)=(x,y)
4. Distributividade em relação à soma de vetores:
alphal((x1,y1)+(x2,y2)r) =alpha(x1+x2,y1+y2) =(alpha x1+alpha x2,alpha y1+alpha y2) =alpha(x1,y1)+alpha(x2,y2)
5. Distributividade em relação à soma de escalares:
(alpha+beta)(x,y) =(alpha x+beta x,alpha y+beta y) =alpha(x,y)+beta(x,y)

Passo 4

Generalização para R^n, Mmtimes n(R) e Pn:
– Em R^n, vetores são n-uplas (x1,dots,xn) e as operações são definidas componente a componente, exatamente como em R^2, e portanto todas as propriedades seguem dos axiomas de R.
– Em Mmtimes n(R), matrizes A=[aij] somam-se e escalam-se entrada a entrada, herdando as mesmas propriedades de associatividade, comutatividade, neutro, inverso etc. do corpo R.
– Em Pn, cada polinômio p(x)=a0+a1x+cdots+anx^n pode ser visto como o vetor de coeficientes (a0,dots,an)inR^,n+1; soma e produto por escalar são feitos em cada coeficiente e, portanto, valem todos os axiomas de espaço vetorial, análogos ao caso de R^n+1.

Resposta

R^2, R^n, Mmtimes n(R) e Pn são espaços vetoriais sobre R.

Exercícios relacionados