Começaremos definindo as principais entidades que constituem um espaço vetorial.
Corpo, vetor e espaço vetorial
Um corpo é um conjunto não vazio, , dotado de duas operações, a soma e o produto, e denotadas respectivamente por: , que satisfazem às seguintes propriedades ( C):
Comutatividade na soma:
Associatividade na soma:
Elemento neutro na soma
Elemento inverso na soma
Comutatividade no produto:
Associatividade no produto:
Elemento neutro no produto (ll):
Elemento inverso no produto ( ):
Exemplos de corpos são o conjunto dos números reais e dos números complexos ( ).
Um espaço vetorial sobre um corpo é um conjunto de elementos chamados vetores, , e dotado de operações de soma e produto por escalar (um elemento do corpo), levando dois elementos de sempre a um terceiro elemento de (propriedade de fechamento), satisfazendo as propriedades de (1) a (4) descritas anteriormente para a soma. Além disso, o produto por escalar deve satisfazer ( ):
Associatividade no produto por escalar:
, onde 1 é o elemento neutro no produto em C
Propriedade distributiva:
Propriedade distributiva:
A seguir listamos alguns exemplos de espaços vetoriais:
Vetores no plano
Nesse caso, as operações de adição e produto por escalar ( ) são definidas, respectivamente, como:
Exercício II.4: Prove que o espaço vetorial descrito anteriormente satisfaz todas as propriedades de espaço vetorial.
Exercício II.5: Prove que o conjunto , com é um espaço vetorial sobre com as operações usuais de soma e produto por escalar.
Matrizes:
Considere o conjunto das matrizes reais de ordem e um elemento deste conjunto,
Assumindo a soma de matrizes e o produto de matrizes por um número real, então Mm times n(R) é um espaço vetorial sobre os reais.
Exercício II.6: Prove que o espaço vetorial descrito anteriormente satisfaz todas as propriedades de espaço vetorial.
Exercício II.7: Prove que o conjunto de todos os polinômios de grau <= n
Pn=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n, ai in R
é um espaço vetorial sobre os reais.
Passo 1
O enunciado pede para provar que os conjuntos R^2, R^n, Mmtimes n(R) e
Pn = a0 + a1 x + cdots + an x^n mid ai in R
com as operações usuais de soma e produto por escalar formam espaços vetoriais sobre R.
Para isso vamos usar a definição de espaço vetorial (fechamento, comutatividade e associatividade da soma, existência de zero e inverso, e as quatro propriedades do produto por escalar) e mostrar que, em cada caso, as operações são definidas “componente a componente”, herdam as propriedades do corpo R e portanto satisfazem todos os axiomas.
Passo 2
Verificação para R^2, soma definida por ,(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2). 1. Fechamento: x1+x2 e y1+y2 pertencem a R, logo (x1+x2,y1+y2)inR^2. 2. Comutatividade e associatividade da soma em R^2 seguem de ,x1+x2=x2+x1 e (x1+x2)+x3=x1+(x2+x3) em R, aplicada a cada componente. 3. O elemento neutro é (0,0) porque (x,y)+(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y). 4. O inverso de (x,y) é (-x,-y) pois (x,y)+(-x,-y)=(0,0).
Passo 3
Ainda em R^2, produto por escalar definido por alpha,(x,y)=(alpha x,alpha y). 1. Fechamento: alpha x,alpha yinR Rightarrow (alpha x,alpha y)inR^2. 2. Associatividade no produto por escalar:
Generalização para R^n, Mmtimes n(R) e Pn:
– Em R^n, vetores são n-uplas (x1,dots,xn) e as operações são definidas componente a componente, exatamente como em R^2, e portanto todas as propriedades seguem dos axiomas de R.
– Em Mmtimes n(R), matrizes A=[aij] somam-se e escalam-se entrada a entrada, herdando as mesmas propriedades de associatividade, comutatividade, neutro, inverso etc. do corpo R.
– Em Pn, cada polinômio p(x)=a0+a1x+cdots+anx^n pode ser visto como o vetor de coeficientes (a0,dots,an)inR^,n+1; soma e produto por escalar são feitos em cada coeficiente e, portanto, valem todos os axiomas de espaço vetorial, análogos ao caso de R^n+1.
Resposta
R^2, R^n, Mmtimes n(R) e Pn são espaços vetoriais sobre R.