pontos) Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede pra calcular:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que envolvem integrar uma função em duas variáveis, nesse caso,
e
. Vamos precisar usar técnicas de integração e entender bem os limites de integração para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
. Ou seja, vamos integrar:
Aqui, o
é tratado como uma constante, já que estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Também precisamos mudar os limites de integração:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 4
Substituindo tudo na integral:
Simplificando os sinais e os limites:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Essa integral não tem uma solução elementar simples, então vamos manter dessa forma e passar para a próxima etapa, que é integrar em relação a
.
Passo 6
A integral dupla fica então:
Para resolver isso, geralmente precisaríamos de métodos numéricos ou expressar em termos de funções especiais, pois não há uma antiderivada simples para a expressão interna.
Resposta
A integral dupla é expressa como:
E não possui uma solução em termos de funções elementares. Portanto, a solução final requer métodos numéricos para ser calculada.