(2,0 pontos) Calcule integral0^2 integral0^4-x^2 x sen(2 y)4-y d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede pra calcular:
integral0^2 integral0^4 - x^2 x cdot sin(2y)4 - y , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que envolvem integrar uma função em duas variáveis, nesse caso, x e y . Vamos precisar usar técnicas de integração e entender bem os limites de integração para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a y . Ou seja, vamos integrar:
integral0^4 - x^2 x cdot sin(2y)4 - y , dy
Aqui, o x é tratado como uma constante, já que estamos integrando em relação a y .

Passo 3

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos definir:
u = 4 - y
Então, a derivada de u em relação a y é:
dudy = -1 Rightarrow dy = -du
Também precisamos mudar os limites de integração:
  • Quando y = 0 :
u = 4 - 0 = 4
  • Quando y = 4 - x^2 :
u = 4 - (4 - x^2) = x^2

Passo 4

Substituindo tudo na integral:
integraly=0^y=4 - x^2 x cdot sin(2y)4 - y , dy = x integralu=4^u=x^2 sin(2(4 - u))u cdot (-du)
Simplificando os sinais e os limites:
x integralu=x^2^u=4 sin(8 - 2u)u , du

Passo 5

Agora, a integral fica:
x integralx^2^4 sin(8 - 2u)u , du
Essa integral não tem uma solução elementar simples, então vamos manter dessa forma e passar para a próxima etapa, que é integrar em relação a x .

Passo 6

A integral dupla fica então:
integral0^2 [ x integralx^2^4 sin(8 - 2u)u , du ] dx
Para resolver isso, geralmente precisaríamos de métodos numéricos ou expressar em termos de funções especiais, pois não há uma antiderivada simples para a expressão interna.

Resposta

A integral dupla é expressa como:
integral0^2 [ x integralx^2^4 sin(8 - 2u)u , du ] dx
E não possui uma solução em termos de funções elementares. Portanto, a solução final requer métodos numéricos para ser calculada.

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