Q3. Resolva o PVI x^prime prime+3 x^prime-10 x=0, x(0)=1, x^prime(0)=-1.

Passo 1

Temos o PVI:
x'' + 3 x' - 10 x = 0, x(0) = 1, x'(0) = -1
O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos montar a equação característica e depois usar as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada à EDO é
r^2 + 3r - 10 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante para resolver a equação:
De<a = 3^2 - 4cdot1cdot(-10) = 9 + 40 = 49
As raízes são
r = -3 pm 72,
ultrapassando para
r1 = 2, r2 = -5

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
x(t) = C1 e^2t + C2 e^-5t

Passo 5

Para aplicar a condição em x'(0), precisamos da derivada:
x'(t) = 2 C1 e^2t - 5 C2 e^-5t

Passo 6

Agora usamos as condições iniciais em t=0:
De x(0)=1 vem
C1 + C2 = 1
De x'(0)=-1 vem
2 C1 - 5 C2 = -1
Resolvendo esse sistema, encontramos
C2 = tfrac37, C1 = tfrac47

Resposta

A solução do PVI é
x(t) = 47e^2t + 37e^-5t

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