6.1 Definição de Espaço Vetorial
Começaremos definindo as principais entidades que constituem um espaço vetorial.
Corpo, vetor e espaço vetorial
Um corpo é um conjunto não vazio,
C , dotado de duas operações, a soma e o produto, e denotadas respectivamente por:
+e cdot , que satisfazem às seguintes propriedades (
alpha, beta, gamma in C):
Comutatividade na soma:
alpha+beta=beta+alpha
Associatividade na soma:
alpha+(beta+gamma)=(alpha+beta)+gamma
Elemento neutro na soma
alpha+0=alpha
Elemento inverso na soma
(-alpha): alpha+(-alpha)=0
Comutatividade no produto:
alpha cdot beta=beta cdot alpha
Associatividade no produto:
alpha cdot(beta cdot gamma)=(alpha cdot beta) cdot gamma
Elemento neutro no produto (ll):
alpha cdot I=alpha
Elemento inverso no produto (
alpha^-1 ):
alpha cdot alpha^-1=1
Exemplos de corpos são o conjunto dos números reais
(R) e dos números complexos (
C ).
Um espaço vetorial
V sobre um corpo
C é um conjunto de elementos chamados vetores,
v , e dotado de operações de soma e produto por escalar (um elemento do corpo), levando dois elementos de
V sempre a um terceiro elemento de
V (propriedade de fechamento), satisfazendo as propriedades de (1) a (4) descritas anteriormente para a soma. Além disso, o produto por escalar deve satisfazer (
alpha, beta in C ; u, v in V ):
Associatividade no produto por escalar:
alpha cdot(beta cdot u)=(alpha cdot beta) cdot u
1 cdot u=u , onde 1 é o elemento neutro no produto em C
Propriedade distributiva:
alpha cdot(u+v)=alpha cdot u+alpha cdot v
Propriedade distributiva:
(alpha+beta) cdot u=alpha cdot u+beta cdot u
A seguir listamos alguns exemplos de espaços vetoriais:
V=R^2=(x, y) mid x, y in R
Nesse caso, as operações de adição e produto por escalar (
alpha in R ) são definidas, respectivamente, como:
r (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) alpha(x1, y1)=(alpha x1, alpha y1)
Exercício II.4: Prove que o espaço vetorial descrito anteriormente satisfaz todas as propriedades de espaço vetorial.
Exercício II.5: Prove que o conjunto
R^n , com
n in N é um espaço vetorial sobre
R com as operações usuais de soma e produto por escalar.
Considere o conjunto das matrizes reais de ordem
m times n, Mm times n(R) e um elemento
A deste conjunto,
A=[cccc a11 & a12 & cdots & a1 n a21 & a22 & cdots & a2 n vdots & vdots & ddots & vdots am 1 & am 2 & cdots & am n ]
Assumindo a soma de matrizes e o produto de matrizes por um número real, então
Mm times n(R) é um espaço vetorial sobre os reais.
Exercício II.6: Prove que o espaço vetorial descrito anteriormente satisfaz todas as propriedades de espaço vetorial.
Exercício II.7: Prove que o conjunto de todos os polinômios de grau
<= n
Pn=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n, ai in R
é um espaço vetorial sobre os reais.