Q2. Sabendo que x1(t)=9 e^2 t e x2(t)=-e^4 t são soluções de x^prime prime-6 x^prime+8 x=0, determine a solução do problema de valor inicial
x^prime prime-6 x^prime+8 x=0, x(0)=-2, x^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
x'' - 6x' + 8x = 0,
com condições iniciais x(0) = -2 e x'(0) = 3, sabendo que as soluções fundamentais são x1(t)=9e^2t e x2(t)=-e^4t. Vamos precisar montar a solução geral e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Como é uma equação homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes, a solução geral é combinação linear das soluções fundamentais dadas:
x(t) = C1 x1(t) + C2 x2(t)

Passo 3

Substituindo x1 e x2 na expressão da solução geral temos:
x(t) = C1 ,9e^2t + C2,(-e^4t) = 9C1 e^2t - C2 e^4t

Passo 4

Calculamos a derivada para usar a condição em x'(0):
x'(t) = 18C1 e^2t - 4C2 e^4t

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais em t=0:
x(0) = 9C1 - C2 = -2,
x'(0) = 18C1 - 4C2 = 3

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: -C2 = -2 - 9C1 então C2 = 2 + 9C1.
Substituindo na segunda:
18C1 - 4(2 + 9C1) = 3
18C1 - 8 - 36C1 = 3
-18C1 = 11 ,Longrightarrow, C1 = -1118
C2 = 2 + 9l(-1118r) = 2 - 112 = -72

Passo 7

Substituindo C1 e C2 na solução geral obtemos:
x(t) = 9l(-1118r)e^2t -l(-72r)e^4t = -112e^2t + 72e^4t

Resposta

x(t) = -\frac{11}{2}e^{2t} + \frac{7}{2}e^{4t}

Exercícios relacionados