6.1 Definição de Espaço Vetorial
Começaremos definindo as principais entidades que constituem um espaço vetorial.
Corpo, vetor e espaço vetorial
Um corpo é um conjunto não vazio,
, dotado de duas operações, a soma e o produto, e denotadas respectivamente por:
, que satisfazem às seguintes propriedades (
C):
- Comutatividade na soma:
- Associatividade na soma:
- Elemento neutro na soma
- Elemento inverso na soma
- Comutatividade no produto:
- Associatividade no produto:
- Elemento neutro no produto (ll):
- Elemento inverso no produto (
):
Exemplos de corpos são o conjunto dos números reais
e dos números complexos (
).
Um espaço vetorial
sobre um corpo
é um conjunto de elementos chamados vetores,
, e dotado de operações de soma e produto por escalar (um elemento do corpo), levando dois elementos de
sempre a um terceiro elemento de
(propriedade de fechamento), satisfazendo as propriedades de (1) a (4) descritas anteriormente para a soma. Além disso, o produto por escalar deve satisfazer (
):
- Associatividade no produto por escalar:
-
, onde 1 é o elemento neutro no produto em C
- Propriedade distributiva:
- Propriedade distributiva:
A seguir listamos alguns exemplos de espaços vetoriais:
Nesse caso, as operações de adição e produto por escalar (
) são definidas, respectivamente, como:
Exercício II.4: Prove que o espaço vetorial descrito anteriormente satisfaz todas as propriedades de espaço vetorial.
Exercício II.5: Prove que o conjunto
, com
é um espaço vetorial sobre
com as operações usuais de soma e produto por escalar.
Considere o conjunto das matrizes reais de ordem
e um elemento
deste conjunto,
Assumindo a soma de matrizes e o produto de matrizes por um número real, então
Mm times n(R) é um espaço vetorial sobre os reais.
Exercício II.6: Prove que o espaço vetorial descrito anteriormente satisfaz todas as propriedades de espaço vetorial.
Exercício II.7: Prove que o conjunto de todos os polinômios de grau
<= n
Pn=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n, ai in R
é um espaço vetorial sobre os reais.