Dê a definição formal de limite de uma função de duas variáveis, isto é, diga o que significa dizer que limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) é L. Use a definição para mostrar que lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2=0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve limites de funções de duas variáveis. Primeiro, vamos entender o que é o limite de uma função de duas variáveis e, depois, aplicaremos essa definição para calcular o limite de 3x^2yx^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para isso, vamos precisar conhecer a definição formal de limite e saber como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Definição Formal de Limite para Funções de Duas Variáveis
Quando falamos que o limite de uma função $ f(x, y) $ quando f(x, y) tende a (x, y) é $ L $, isso significa que podemos fazer os valores de $ f(x, y) $ tão próximos de $ L $ quanto quisermos, desde que (a, b) esteja suficientemente próximo de L . Formalmente, dizemos:
f(x, y)
Se, para todo L , existe um (x, y) tal que sempre que (a, b), então lim(x, y) (a, b) f(x, y) = L .
Isso pode parecer complicado, mas basicamente significa que conseguimos controlar a diferença entre $ f(x, y) $ e $ L $ fazendo epsilon > 0 suficientemente próximo de de 0.

Passo 3

Aplicando a Definição para Calcular o Limite
Agora, vamos usar essa definição para encontrar o limite da função $ f(x, y) = \frac{3x{2}y}{x{2}+y^{2}} $ quando f(x, y) = 3x^2yx^2+y^2 se aproxima de (x, y). Queremos mostrar que:
(0,0)
Para isso, precisamos provar que para todo lim(x, y) (0,0) 3x^2yx^2+y^2 = 0 , existe um epsilon > 0 tal que se de 0, então:
raizx^2 + y^2 < de
Ou seja:
| 3x^2yx^2+y^2 - 0 | < epsilon

Passo 4

Estimando a Expressão
Vamos simplificar a expressão | 3x^2yx^2+y^2 |:
| 3x^2yx^2+y^2 | = 3 cdot x^2|y|x^2+y^2
Sabemos que $ x^{2} \leq x^{2} + y^{2} $ e $ |y| \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Portanto,
x^2 <= x^2 + y^2
Assim,
|y| <= raizx^2 + y^2

Passo 5

Escolhendo de em Termo de epsilon
Queremos que $ 3 \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} < \epsilon $. Para garantir isso, basta escolher 3 cdot raizx^2 + y^2 < epsilon tal que:
de
Portanto, podemos escolher:
3 cdot raizx^2 + y^2 < epsilon Rightarrow raizx^2 + y^2 < epsilon3

Passo 6

Concluindo a Prova
Com essa escolha de de, se raizx^2 + y^2 < de, então:
| 3x^2yx^2+y^2 | <= 3 cdot raizx^2 + y^2 < 3 cdot epsilon3 = epsilon
Isso mostra que, para todo epsilon > 0, existe um de que satisfaz a condição da definição de limite. Portanto, concluímos que:

Resposta

lim(x, y) (0,0) 3x^2yx^2+y^2 = 0

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