Dê a definição formal de limite de uma função de duas variáveis, isto é, diga o que significa dizer que limite de quando tende a é . Use a definição para mostrar que .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve limites de funções de duas variáveis. Primeiro, vamos entender o que é o limite de uma função de duas variáveis e, depois, aplicaremos essa definição para calcular o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar conhecer a definição formal de limite e saber como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Definição Formal de Limite para Funções de Duas Variáveis
Quando falamos que o limite de uma função $ f(x, y) $ quando tende a é $ L $, isso significa que podemos fazer os valores de $ f(x, y) $ tão próximos de $ L $ quanto quisermos, desde que esteja suficientemente próximo de . Formalmente, dizemos:
Se, para todo , existe um tal que sempre que , então .
Isso pode parecer complicado, mas basicamente significa que conseguimos controlar a diferença entre $ f(x, y) $ e $ L $ fazendo suficientemente próximo de .
Passo 3
Aplicando a Definição para Calcular o Limite
Agora, vamos usar essa definição para encontrar o limite da função $ f(x, y) = \frac{3x{2}y}{x{2}+y^{2}} $ quando se aproxima de . Queremos mostrar que:
Para isso, precisamos provar que para todo , existe um tal que se , então:
Ou seja:
| 3x^2yx^2+y^2 - 0 | < epsilon
Passo 4
Estimando a Expressão
Vamos simplificar a expressão | 3x^2yx^2+y^2 |:
| 3x^2yx^2+y^2 | = 3 cdot x^2|y|x^2+y^2
Sabemos que $ x^{2} \leq x^{2} + y^{2} $ e $ |y| \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Portanto,
x^2 <= x^2 + y^2
Assim,
|y| <= raizx^2 + y^2
Passo 5
Escolhendo de em Termo de epsilon
Queremos que $ 3 \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} < \epsilon $. Para garantir isso, basta escolher 3 cdot raizx^2 + y^2 < epsilon tal que: