Utilize Integração por Partes para calcular as integrais a seguir.
(c) integral(pi-x) cos (pi x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral (pi - x)cos(pi x),dx
usando integração por partes. O conteúdo principal aqui é a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e vamos escolher funções adequadas para u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = pi - x, dv = cos(pi x),dx
Logo,
du = -,dx, v = integral cos(pi x),dx = 1pisin(pi x)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral (pi - x)cos(pi x),dx = u,v - integral v,du = (pi - x),1pisin(pi x) - integral 1pisin(pi x),(-,dx)
Isso vira
pi - xpisin(pi x) + 1piintegral sin(pi x),dx

Passo 4

Agora calculamos
integral sin(pi x),dx = -1picos(pi x)
Substituindo de volta:
pi - xpisin(pi x) + 1pil(-1picos(pi x)r) = pi - xpisin(pi x) - 1pi^2cos(pi x)

Resposta

integral (pi - x)cos(pi x),dx = pi - xpisin(pi x) - 1pi^2cos(pi x) + C

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