Utilize Integração por Partes para calcular as integrais a seguir.
(a) integral t e^2 t d t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral t e^2 t d t usando Integração por Partes. Isso faz parte do cálculo integral, onde precisamos separar a integral em partes mais simples. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da integral serão u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Precisamos escolher qual parte da integral será u e qual será dv. Geralmente, escolhemos u como a parte que se simplifica quando derivada. Aqui, vamos escolher:
  • u = t (porque a derivada de t é mais simples)
  • dv = e^2t dt

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u:
du = ddt (t) dt = 1 , dt
  • Integrando dv para encontrar v:
v = integral e^2t dt = 12 e^2t

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t e^2t dt = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral t e^2t dt = t cdot 12 e^2t - integral 12 e^2t cdot 1 , dt
Simplificando:
integral t e^2t dt = t2 e^2t - 12 integral e^2t dt

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral e^2t dt = 12 e^2t
Substituindo de volta:
integral t e^2t dt = t2 e^2t - 12 cdot 12 e^2t + C
integral t e^2t dt = t2 e^2t - 14 e^2t + C

Resposta

A integral integral t e^2t dt é igual a t2 e^2t - 14 e^2t + C, onde C é a constante de integração.

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