Determine a equação característica para cada ED abaixo e encontre suas raízes:
d^5 ud r^5+5 d^4 ud r^4-2 d^3 ud r^3-10 d^2 ud r^2+d ud r+5 u=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a equação característica e suas raízes da EDO
d^5udr^5 + 5d^4udr^4 - 2d^3udr^3 - 10d^2udr^2 + dudr + 5u = 0
O conteúdo aqui é EDO linear de coeficientes constantes. Vamos usar o ansatz u(r)=e^lambda r, que leva a substituir cada derivada por lambda vezes a própria função, gerando o polinômio de característica.

Passo 2

Substituindo u(r)=e^lambda r na EDO, obtemos a equação característica
lambda^5 + 5lambda^4 - 2lambda^3 - 10lambda^2 + lambda + 5 = 0

Passo 3

Para fatorar o polinômio
P(lambda)=lambda^5 + 5lambda^4 - 2lambda^3 - 10lambda^2 + lambda + 5
agrupamos termos em potências decrescentes de lambda:
P(lambda) &=lambda^4(lambda+5);-;2lambda^2(lambda+5);+;1cdot(lambda+5) &=(lambda+5)l(lambda^4 - 2lambda^2 +1r)
Reconhecemos lambda^4 -2lambda^2 +1=(lambda^2-1)^2=(lambda-1)^2(lambda+1)^2. Logo
P(lambda)=(lambda+5)(lambda-1)^2(lambda+1)^2

Passo 4

Das fatores obtidos, as raízes (com respectivas multiplicidades) são
lambda = -5(simp<=s), lambda = 1(dupla), lambda = -1(dupla)

Resposta

Equação característica:
lambda^5 + 5lambda^4 - 2lambda^3 - 10lambda^2 + lambda + 5 = 0
Raízes: lambda=-5 (mult., 1), lambda=1 (mult., 2) e lambda=-1 (mult., 2).

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