integral0^2 pi 0+3 cos ^4 t cdot sen^2 t d t

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^2pil(0 + 3cos^4 t;sin^2 tr),dt = 3integral0^2picos^4 t,sin^2 t,dt
O conteúdo aqui é redução de potências em funções trigonométricas. Vamos usar as identidades
sin^2 t = 1 - cos 2t2, cos^2 t = 1 + cos 2t2

Passo 2

Primeiro escrevemos
cos^4 t = (cos^2 t)^2 = l(1+cos2t2r)^2 = 14l(1 + 2cos2t + cos^2 2tr)
Em seguida, como cos^2 2t = 1+cos4t2, temos
cos^4 t = 14l(1 + 2cos2t + 1+cos4t2r) = 18l(3 + 4cos2t + cos4tr)

Passo 3

Agora montamos o produto
cos^4 t,sin^2 t = 18l(3 + 4cos2t + cos4tr) cdot 1 - cos2t2 = 116l(3 + 4cos2t + cos4tr)(1 - cos2t)
Expandindo e usando
cos^2 2t = 1+cos4t2, cos2tcos4t = cos6t + cos2t2,
chegamos a
cos^4 t,sin^2 t = 116l(1 + tfrac12cos2t - cos4t - tfrac12cos6tr)
Multiplicando por 3 obtém-se o integrando final:
3cos^4 t,sin^2 t = 316l(1 + tfrac12cos2t - cos4t - tfrac12cos6tr)

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a 2pi. Como
integral0^2picos(n t),dt=0 para nneq0 e
integral0^2pi1,dt=2pi, vem
integral0^2pi3cos^4 t,sin^2 t,dt = 316l(2pi + 0 - 0 - 0r) = 316,2pi = 3pi8

Resposta

3pi8

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