Por definição de limites, determine
tal que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites, que é um conceito chave no cálculo. A questão pede para determinarmos uma função
que, dada uma tolerância
, garante que quando
está a menos de
de 3, o valor de
está a menos de
de 13. Basicamente, vamos usar a definição de limite para achar essa relação entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar aplicando a definição. Queremos que:
Simplificando dentro do valor absoluto:
Passo 4
Agora, vamos simplificar ainda mais. Podemos fatorar o 4:
Isso porque
.
Passo 5
Nosso objetivo é isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados da desigualdade por 4:
Passo 6
Agora, vemos que para garantir que
, basta escolher
igual a
. Assim, sempre que
, a condição desejada será satisfeita.
Resposta
Portanto, a função
que satisfaz a condição é: