Por definição de limites, determine de<a=de<a(varepsilon) tal que:
lim x 3 4 x+1=13

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites, que é um conceito chave no cálculo. A questão pede para determinarmos uma função de<a(varepsilon) que, dada uma tolerância varepsilon, garante que quando x está a menos de de<a de 3, o valor de 4x + 1 está a menos de varepsilon de 13. Basicamente, vamos usar a definição de limite para achar essa relação entre de<a e varepsilon.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que limx to a f(x) = L se, para todo varepsilon > 0, existe um de<a > 0 tal que, sempre que 0 < |x - a| < de<a, então |f(x) - L| < varepsilon. No nosso caso, a = 3, f(x) = 4x + 1 e L = 13.

Passo 3

Vamos começar aplicando a definição. Queremos que:
|4x + 1 - 13| < varepsilon
Simplificando dentro do valor absoluto:
|4x - 12| < varepsilon

Passo 4

Agora, vamos simplificar ainda mais. Podemos fatorar o 4:
4|x - 3| < varepsilon
Isso porque 4x - 12 = 4(x - 3).

Passo 5

Nosso objetivo é isolar |x - 3|. Para isso, dividimos ambos os lados da desigualdade por 4:
|x - 3| < varepsilon4

Passo 6

Agora, vemos que para garantir que |4x + 1 - 13| < varepsilon, basta escolher de<a igual a varepsilon4. Assim, sempre que |x - 3| < de<a, a condição desejada será satisfeita.

Resposta

Portanto, a função de<a(varepsilon) que satisfaz a condição é:
de<a = varepsilon4

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