Determine o desenvolvimento em série de Maclaurin:
f(x)=sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento em série de Maclaurin de f(x)=sin(2x). Isso significa expandir f em potências de x ao redor de 0, usando derivadas ou séries já conhecidas.

Passo 2

Lembrando que a série de Maclaurin de sin x é
sin x ;=;sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!,
válida para todo x.

Passo 3

Para obter a série de sin(2x) basta substituir x por 2x na expansão acima, pois a série converge para qualquer argumento:
sin(2x) =sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n+1(2n+1)!

Passo 4

Note que (2x)^2n+1=2^2n+1x^2n+1. Então a forma geral fica
sin(2x) =sumn=0^infty(-1)^n,2^2n+1(2n+1)!,x^2n+1

Passo 5

Escrevendo os primeiros termos para ver os coeficientes:
sin(2x) =2x-(2x)^33!+(2x)^55!-cdots =2x-8x^36+32x^5120-cdots =2x-43x^3+415x^5-cdots

Resposta

sin(2x) =sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1(2n+1)!,x^2n+1 =2x-tfrac43x^3+tfrac415x^5-cdots

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