Determine o desenvolvimento em série de Maclaurin:
f(x)=x t^-1 x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=x· tan^-1x. O conteúdo envolvido é desenvolvimento em série de potências e vamos precisar da expansão conhecida de tan^-1x.

Passo 2

A expansão de Maclaurin de tan^-1x para |x|<=1 é dada por:
tan^-1x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1

Passo 3

Para obter f(x)=xtan^-1x, basta multiplicar termo a termo por x. Assim:
f(x)=xtan^-1x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+22n+1

Passo 4

Escrevendo os primeiros termos temos:
f(x)=x^2-x^43+x^65-x^87+cdots

Passo 5

O raio de convergência dessa série é R=1, válido para |x|<1 (e condicionalmente em x=pm1).

Resposta

xtan^-1x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+22n+1=x^2-x^43+x^65-cdots

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