Resolva:
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10 pontos (X^2-3 Y+5 Z)^3
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Passo 1

O enunciado pede para expandir o polinômio l(X^2-3Y+5Zr)^3.
O conteúdo é aplicação do Teorema Multinomial para n=3 em três termos: a=X^2, b=-3Y e c=5Z.

Passo 2

O Teorema Multinomial diz que, para n=3 e a,b,c,
(a+b+c)^3 =sumi+j+k=33!i!,j!,k!;a^i,b^j,c^k
Aqui temos a=X^2, b=-3Y e c=5Z.

Passo 3

As combinações inteiras (i,j,k) tais que i+j+k=3 são dez, a saber:
1. (3,0,0); 2. (2,1,0); 3. (2,0,1); 4. (1,2,0); 5. (1,1,1);
6. (1,0,2); 7. (0,3,0); 8. (0,2,1); 9. (0,1,2); 10. (0,0,3).

Passo 4

Para cada (i,j,k) calculemos o coeficiente e o termo:
1. (3,0,0): 3!3!0!0!=1, termo (X^2)^3=X^6.
2. (2,1,0): 3!2!1!0!=3, termo 3,(X^2)^2(-3Y)=-9X^4Y.
3. (2,0,1): 3, termo 3,(X^2)^2,(5Z)=15X^4Z.
4. (1,2,0): 3, termo 3,(X^2),(-3Y)^2=3cdot X^2cdot9Y^2=27X^2Y^2.
5. (1,1,1): 3!1!1!1!=6, termo 6,(X^2)(-3Y)(5Z)=6cdot(-15X^2YZ)=-90X^2YZ.
6. (1,0,2): 3, termo 3,(X^2),(5Z)^2=3cdot X^2cdot25Z^2=75X^2Z^2.
7. (0,3,0): 1, termo (-3Y)^3=-27Y^3.
8. (0,2,1): 3, termo 3,( -3Y)^2(5Z)=3cdot9Y^2cdot5Z=135Y^2Z.
9. (0,1,2): 3, termo 3,( -3Y)(5Z)^2=3cdot(-3Y)cdot25Z^2=-225YZ^2.
10. (0,0,3): 1, termo (5Z)^3=125Z^3.
Somando todos os termos, obtemos:
X^6-9X^4Y+15X^4Z+27X^2Y^2-90X^2YZ+75X^2Z^2-27Y^3+135Y^2Z-225YZ^2+125Z^3

Resposta

(X^2-3Y+5Z)^3 = X^6 ;-;9X^4Y;+;15X^4Z;+;27X^2Y^2;-;90X^2YZ;+;75X^2Z^2;-;27Y^3;+;135Y^2Z;-;225YZ^2;+;125Z^3

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