EXEMPLO (LI): Considere o seguinte conjunto de vetores S=(1,1,1),(0,1,0) in R^3 e verifique se ele é LI ou LD:

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores
S = (1,1,1),,(0,1,0)subset R^3
e pede para verificar se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para isso, vamos usar a definição: eles são LI se a única combinação
c1(1,1,1) + c2(0,1,0) = (0,0,0)
ocorrer for com c1 = c2 = 0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica e igualamos a zero:
c1(1,1,1) + c2(0,1,0) = (0,0,0)
Isso gera o sistema de equações pelas componentes:
c1 + 0cdot c2 = 0, c1 + c2 = 0, c1 + 0cdot c2 = 0

Passo 3

Das equações das componentes obtemos:
  1. c1 = 0 pela primeira e terceira equações.
  2. Substituindo c1=0 na segunda, fica 0 + c2 = 0, logo c2 = 0.
Como a única solução é c1 = c2 = 0, não há combinação não trivial que anule os vetores.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente (LI).

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