Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência de cada série de potências.
\quad \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{2+n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências centrada em zero
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{2+n^{2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A série tem termo geral a_n x^n com a_n=\dfrac{1}{2+n^{2}}.
  • O centro da série é 0.
  • Pedidos: (i) o raio de convergência R e (ii) o intervalo (no caso real) de convergência, isto é, os x\in\mathbb{R} para os quais a série converge.

Passo 2

Lembrete rápido (fórmula que vou usar) — definição prática do raio de convergência:
Para uma série de potências \sum a_n (x-c)^n o raio de convergência R pode ser obtido por
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui a_n é o coeficiente (no nosso caso a_n=\dfrac{1}{2+n^{2}}) e \limsup é o limite superior das raízes n-ésimas. Vou calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} para achar R.

Passo 3

Calcular \sqrt[n]{|a_n|} com a_n=\dfrac{1}{2+n^{2}}:
\sqrt[n]{|a_n|}=\left(\frac{1}{2+n^{2}}\right)^{1/n}.
É útil escrever em termos de exponencial:
\left(\frac{1}{2+n^{2}}\right)^{1/n}=\exp\!\left(\frac{1}{n}\ln\!\left(\frac{1}{2+n^{2}}\right)\right).
Agora avalio o expoente quando n\to\infty. Como \ln\!\left(\dfrac{1}{2+n^{2}}\right)=-\ln(2+n^{2}) e \ln(2+n^{2})\sim 2\ln n quando n grande, o quociente
\frac{1}{n}\ln\!\left(\frac{1}{2+n^{2}}\right)= -\frac{\ln(2+n^{2})}{n}\longrightarrow 0.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\exp(0)=1.
Assim o \limsup também vale 1.

Passo 4

Aplicando a fórmula do raio:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{1}=1.
Portanto o raio de convergência é R=1. Isso significa que a série converge (pelo menos) para todos x tais que |x|<1 e diverge para |x|>1. Faltam verificar os dois pontos da fronteira |x|=1, isto é x=1 e x=-1.

Passo 5

Verificação no ponto x=1. Substituindo x=1 obtemos a série numérica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2+n^{2}}.
Para investigar convergência compare com a série p:
\frac{1}{2+n^{2}}\le\frac{1}{n^{2}}\quad\text{para }n\ge 1,
e sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge (série p com p=2>1). Como o termo quando n=0 é \dfrac{1}{2} e os demais são comparáveis com uma série convergente, pela comparação direta a série para x=1 converge absolutamente. Logo x=1 pertence ao intervalo de convergência.

Passo 6

Verificação no ponto x=-1. Substituindo x=-1 obtemos a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2+n^{2}}.
A série absoluta é a mesma do caso x=1:
\sum_{n=0}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{2+n^{2}}\right|=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2+n^{2}},
que já vimos que converge. Portanto a série em x=-1 converge absolutamente também. Logo x=-1 pertence ao intervalo de convergência.

Passo 7

Conclusão final combinando as etapas anteriores:
  • O raio de convergência é R=1.
  • A série converge para todos os x com |x|<1.
  • Nos extremos |x|=1 (ou seja x=\pm1) a série converge (na verdade converge absolutamente), portanto o intervalo de convergência no eixo real é o intervalo fechado [-1,1].

Resposta

Intervalo de convergência: [-1,1]
Raio de convergência: R=1

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