Pela definição de sequência convergente prove que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (informações extraídas do enunciado):
- Foi dado um número real
tal que e . - A sequência é definida por
para . - O enunciado pede para provar que
converge para ; isto é, provar que .
Passo 2
Lembrando a definição de sequência convergente (a ferramenta que vamos usar):
- Dizemos que
converge para (escrevemos ou ) se, para todo , existe um inteiro tal que, para todo , vale . - No nosso caso queremos
. Portanto precisamos mostrar: para todo existe tal que, para todo , tem-se .
Passo 3
Simplificação inicial (manter as coisas limpas):
- Observe que
. - Como
e , definimos . Então . - A prova fica agora em mostrar que, para todo
, existe tal que, para todo , vale .
Passo 4
Divisão em dois casos simples para tratar todos os
:
- Caso A:
. - Caso B:
.
Tratar esses casos separadamente torna a prova direta.
Passo 5
Caso A:
.
- Como
, temos para todo . - Logo, para qualquer
(por exemplo ) temos , portanto não é problema. - Conclusão do caso A: basta escolher
(ou qualquer inteiro positivo) e a condição é satisfeita para todo .
Passo 6
Caso B:
. Aqui precisamos encontrar
dependente de
que force
.
- Como
, toma-se o logaritmo natural: . - A desigualdade
é equivalente a
- Usando a propriedade do logaritmo
, obtemos
- Como
, ao dividir por a desigualdade inverte o sinal:
- Note que, neste caso, ambos
e são negativos, portanto a razão é um número positivo real. - Agora escolhe-se um inteiro
maior do que esse número. Uma escolha prática é
onde
denota o menor inteiro
. Assim
é um inteiro positivo e satisfaz
.
- Para todo
teremos , e revertendo as transformações anteriores obtemos . - Portanto, para este
a condição vale para todo .
Passo 7
Conclusão unificando os dois casos:
- Para qualquer
escolhe-se como em um dos casos: - se
, tomar ; - se
, tomar com .
- se
- Em ambos os casos, para todo
temos . - Isso mostra exatamente, pela definição, que
.