Pela definição de sequência convergente prove que:
Se -1<q<1 e q \neq 0, então a_{n}=q^{n} \rightarrow 0.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (informações extraídas do enunciado):
  • Foi dado um número real q tal que -1<q<1 e q\neq 0.
  • A sequência é definida por a_{n}=q^{n} para n=1,2,3,\dots.
  • O enunciado pede para provar que a_{n} converge para 0; isto é, provar que a_{n}\rightarrow 0.

Passo 2

Lembrando a definição de sequência convergente (a ferramenta que vamos usar):
  • Dizemos que \bigl(a_n\bigr) converge para L (escrevemos \lim_{n\to\infty}a_n=L ou a_n\to L) se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale |a_n-L|<\varepsilon.
  • No nosso caso queremos L=0. Portanto precisamos mostrar: para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, tem-se |q^{n}-0|<\varepsilon.

Passo 3

Simplificação inicial (manter as coisas limpas):
  • Observe que |q^{n}-0|=|q^{n}|=|q|^{n}.
  • Como -1<q<1 e q\neq 0, definimos r:=|q|. Então 0<r<1.
  • A prova fica agora em mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N, vale r^{n}<\varepsilon.

Passo 4

Divisão em dois casos simples para tratar todos os \varepsilon>0:
  • Caso A: \varepsilon \ge 1.
  • Caso B: 0<\varepsilon<1.
    Tratar esses casos separadamente torna a prova direta.

Passo 5

Caso A: \varepsilon \ge 1.
  • Como 0<r<1, temos 0<r^{n}\le 1 para todo n.
  • Logo, para qualquer n (por exemplo N=1) temos r^{n}\le 1\le\varepsilon, portanto r^{n}<\varepsilon não é problema.
  • Conclusão do caso A: basta escolher N=1 (ou qualquer inteiro positivo) e a condição |q^{n}-0|<\varepsilon é satisfeita para todo n\ge N.

Passo 6

Caso B: 0<\varepsilon<1. Aqui precisamos encontrar N dependente de \varepsilon que force r^{n}<\varepsilon.
  • Como 0<r<1, toma-se o logaritmo natural: \ln r<0.
  • A desigualdade r^{n}<\varepsilon é equivalente a
\ln\bigl(r^{n}\bigr)<\ln(\varepsilon).
  • Usando a propriedade do logaritmo \ln(r^{n})=n\ln r, obtemos
n\ln r<\ln(\varepsilon).
  • Como \ln r<0, ao dividir por \ln r a desigualdade inverte o sinal:
n>\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln r}.
  • Note que, neste caso, ambos \ln(\varepsilon) e \ln r são negativos, portanto a razão \dfrac{\ln(\varepsilon)}{\ln r} é um número positivo real.
  • Agora escolhe-se um inteiro N maior do que esse número. Uma escolha prática é
N:=\left\lceil \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln r}\right\rceil,
onde \lceil x\rceil denota o menor inteiro \ge x. Assim N é um inteiro positivo e satisfaz N>\dfrac{\ln(\varepsilon)}{\ln r}.
  • Para todo n\ge N teremos n>\dfrac{\ln(\varepsilon)}{\ln r}, e revertendo as transformações anteriores obtemos r^{n}<\varepsilon.
  • Portanto, para este N a condição |q^{n}-0|=r^{n}<\varepsilon vale para todo n\ge N.

Passo 7

Conclusão unificando os dois casos:
  • Para qualquer \varepsilon>0 escolhe-se N como em um dos casos:
    • se \varepsilon\ge 1, tomar N=1;
    • se 0<\varepsilon<1, tomar N=\left\lceil \dfrac{\ln(\varepsilon)}{\ln r}\right\rceil com r=|q|.
  • Em ambos os casos, para todo n\ge N temos |q^{n}-0|<\varepsilon.
  • Isso mostra exatamente, pela definição, que \lim_{n\to\infty}q^{n}=0.

Resposta

0

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