Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência de cada série de potências. \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n x^{n}}{3^{n}}.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n}}{3^{n}}.
O que se pede:
Determinar o intervalo de convergência (quais valores de x fazem a série convergir).
Determinar o raio de convergência.
Informações relevantes dadas:
O termo geral é a_n=\dfrac{n x^{n}}{3^{n}}.
A série é centrada em 0 (é uma série de potências em x).
Passo 2
Escolha do método: para séries de potências com fatores n e potências de x é natural usar o Teste da razão (Ratio test), que costuma simplificar porque os fatores exponenciais aparecem de forma direta. Vou usar o Teste da razão e, depois, testar os pontos finais x=\pm3 separadamente (pois o teste da razão dá a condição |x|<R, mas não decide automaticamente os extremos).
Lembrete do Teste da razão: para uma série com termos a_n, se
Portanto a série converge para todos x com |x|<3. Isso significa que o raio de convergência é 3 e, provisoriamente, o intervalo de convergência é (-3,3), salvo decisão sobre os extremos x=\pm3.
O raio de convergência fica explicitado como R=3.
Passo 5
Agora testar os extremos.
Para x=3:
o termo geral fica
a_n=\frac{n\cdot 3^{n}}{3^{n}}=n.
Os termos não tendem a zero (tendem a +\infty), então a série \sum n diverge. Pela condição necessária para convergência de uma série (os termos devem tender a zero), concluímos divergência em x=3.
Passo 6
Para x=-3:
o termo geral fica
a_n=\frac{n\cdot (-3)^{n}}{3^{n}}=n(-1)^{n}.
O módulo do termo é |a_n|=n, que não tende a zero (tende a +\infty), portanto a série também diverge em x=-3.
Passo 7
Conclusão final: a série converge absolutamente para todos x tais que |x|<3 e diverge em x=\pm3. Assim o intervalo de convergência é (-3,3) e o raio de convergência é 3.
Observação didática extra (útil na prova): para |x|<3 pode-se escrever a soma em forma fechada usando r=\dfrac{x}{3}. Como
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}\quad\text{para }|r|<1,