Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência de cada série de potências.
\quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n x^{n}}{3^{n}}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n}}{3^{n}}.
O que se pede:
  • Determinar o intervalo de convergência (quais valores de x fazem a série convergir).
  • Determinar o raio de convergência.
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n x^{n}}{3^{n}}.
  • A série é centrada em 0 (é uma série de potências em x).

Passo 2

Escolha do método: para séries de potências com fatores n e potências de x é natural usar o Teste da razão (Ratio test), que costuma simplificar porque os fatores exponenciais aparecem de forma direta. Vou usar o Teste da razão e, depois, testar os pontos finais x=\pm3 separadamente (pois o teste da razão dá a condição |x|<R, mas não decide automaticamente os extremos).
Lembrete do Teste da razão: para uma série com termos a_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
então:
  • se L<1 a série converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o Teste da razão ao termo a_n=\dfrac{n x^{n}}{3^{n}}. Calcular
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(n+1)x^{\,n+1}/3^{\,n+1}}{n x^{n}/3^{n}}\right| = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{|x|}{3}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{|x|}{3} = 1\cdot\frac{|x|}{3}=\frac{|x|}{3}.

Passo 4

Usando o resultado do Teste da razão: a série converge absolutamente quando
\frac{|x|}{3}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<3.
Portanto a série converge para todos x com |x|<3. Isso significa que o raio de convergência é 3 e, provisoriamente, o intervalo de convergência é (-3,3), salvo decisão sobre os extremos x=\pm3.
O raio de convergência fica explicitado como R=3.

Passo 5

Agora testar os extremos.
Para x=3:
o termo geral fica
a_n=\frac{n\cdot 3^{n}}{3^{n}}=n.
Os termos não tendem a zero (tendem a +\infty), então a série \sum n diverge. Pela condição necessária para convergência de uma série (os termos devem tender a zero), concluímos divergência em x=3.

Passo 6

Para x=-3:
o termo geral fica
a_n=\frac{n\cdot (-3)^{n}}{3^{n}}=n(-1)^{n}.
O módulo do termo é |a_n|=n, que não tende a zero (tende a +\infty), portanto a série também diverge em x=-3.

Passo 7

Conclusão final: a série converge absolutamente para todos x tais que |x|<3 e diverge em x=\pm3. Assim o intervalo de convergência é (-3,3) e o raio de convergência é 3.
Observação didática extra (útil na prova): para |x|<3 pode-se escrever a soma em forma fechada usando r=\dfrac{x}{3}. Como
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}\quad\text{para }|r|<1,
obtém-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{n}}{3^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{x}{3}\right)^{n} =\frac{\dfrac{x}{3}}{\left(1-\dfrac{x}{3}\right)^{2}} =\frac{x}{3\left(1-\dfrac{x}{3}\right)^{2}},
válido para |x|<3. Essa identidade vem de diferenciar a série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n=\dfrac{1}{1-r} em relação a r.

Resposta

Intervalo de convergência: (-3,3)
Raio de convergência: 3

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