Dê as definições de:
c) Subanel;

Passo 1

O enunciado pede a definição de subanel, tema que faz parte de teoria de anéis. Para dar essa definição, precisamos lembrar que um anel (R,+,\cdot) é um conjunto com duas operações (adição e multiplicação) e que um subanel é simplesmente um subconjunto que, com as mesmas operações, continua sendo um anel.

Passo 2

Seja (R,+,\cdot) um anel. Um subconjunto S\subseteq R é um subanel de R se, com as operações herdadas de R, S satisfaz as propriedades de um anel. Equivalentemente, exige-se que:
(i) S seja não-vazio (ou, o que dá no mesmo, 0\in S);
(ii) para quaisquer a,b\in S, tenha-se a - b\in S (ou seja, S é subgrupo do grupo aditivo de R);
(iii) para quaisquer a,b\in S, tenha-se a\cdot b\in S (fechamento sob multiplicação).
Se R tiver unidade 1, às vezes exige-se também
(iv) 1\in S,
no caso de se querer um subanel unitário.

Resposta

Um subconjunto S de um anel (R,+,\cdot) é subanel se S contém 0, é fechado sob subtração ( a,b\in S\implies a-b\in S) e é fechado sob multiplicação ( a,b\in S\implies a\cdot b\in S). Se o anel tiver unidade e quisermos preservar o 1, adiciona-se a condição 1\in S.

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