Dê as definições de:
c) Subanel;
c) Subanel;
Passo 1
O enunciado pede a definição de subanel, tema que faz parte de teoria de anéis. Para dar essa definição, precisamos lembrar que um anel
é um conjunto com duas operações (adição e multiplicação) e que um subanel é simplesmente um subconjunto que, com as mesmas operações, continua sendo um anel.
Passo 2
Seja
um anel. Um subconjunto
é um subanel de
se, com as operações herdadas de
,
satisfaz as propriedades de um anel. Equivalentemente, exige-se que:
(i) seja não-vazio (ou, o que dá no mesmo,
);
(ii) para quaisquer , tenha-se
(ou seja,
é subgrupo do grupo aditivo de
);
(iii) para quaisquer , tenha-se
(fechamento sob multiplicação).
Se tiver unidade
, às vezes exige-se também
(iv) ,
no caso de se querer um subanel unitário.
(i)
(ii) para quaisquer
(iii) para quaisquer
Se
(iv)
no caso de se querer um subanel unitário.
Resposta
Um subconjunto
de um anel
é subanel se
contém
, é fechado sob subtração (
) e é fechado sob multiplicação (
). Se o anel tiver unidade e quisermos preservar o
, adiciona-se a condição
.