Dê as definições de:
b) Anel comutativo com unidade;

Passo 1

O enunciado pede a definição de anel comutativo com unidade, ou seja, precisamos expor os axiomas que fazem de um conjunto R um anel que, além de possuir elemento neutro multiplicativo, tem operação de multiplicação comutativa.

Passo 2

Um anel é um conjunto R munido de duas operações binárias, soma “ +” e produto “ \cdot”, que satisfazem:
  1. (R,\,+) é um grupo abeliano, ou seja, para todo a,b,c\in R: a+b=b+a,\quad (a+b)+c=a+(b+c),\quad\exists\,0\in R\text{ tq. }a+0=a,\quad\forall a\,\exists(-a)\text{ com }a+(-a)=0.
  2. (R,\;\cdot) é um monóide, i.e., para todo a,b,c\in R: (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c),e existe elemento neutro multiplicativo 1\in R tal que 1\cdot a=a\cdot 1=a\quad\forall a\in R.
  3. Distributividade: para todo a,b,c\in R, a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c \quad\text{e}\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c.

Passo 3

Para ser comutativo, exige-se ainda que, para todo a,b\in R,
a\cdot b = b\cdot a.

Resposta

Um anel comutativo com unidade é uma estrutura (R,+,\cdot) tal que:
  1. (R,+) é grupo abeliano com neutro 0.
  2. (R,\cdot) é monóide com neutro 1.
  3. As operações satisfazem as leis de distributividade à direita e à esquerda.
  4. A multiplicação é comutativa: a\cdot b = b\cdot a para todos a,b\in R.

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